Untitled

Хорошо, пользователь просит построить схему четвертого порядка аппроксимации для дифференциальной задачи, используя интегро-интерполяционный метод на трёхточечном шаблоне с постоянным шагом. Давай разбираться.

Сначала напомню, что интегро-интерполяционный метод (или метод баланса) заключается в интегрировании уравнения на каждом интервале сетки и последующей аппроксимации интегралов. Это позволяет получить разностную схему с хорошими свойствами, особенно для задач с разрывными коэффициентами.

Исходное уравнение: -u'' + c*u = f(x) на [0,1] с граничными условиями u(0)=a, u(1)=b. Нужно схему четвертого порядка точности. Обычно трёхточечный шаблон дает второй порядок, поэтому нужно повысить порядок аппроксимации до четвертого. Возможно, использовать разложение в ряд Тейлора с учетом большего числа членов или применить методы повышения точности, например, метод Рунге или сплайны.

Но интегро-интерполяционный метод обычно приводит к консервативным разностным схемам. Для повышения порядка аппроксимации до четвертого нужно, чтобы погрешность аппроксимации была O(h^4). Для этого при интегрировании уравнения на интервале [x_{i-1}, x_{i+1}] можно использовать более точные формулы для интегралов.

Рассмотрим интеграл от уравнения по ячейке [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}]. Интегрируем -u'' + c u = f(x):

∫(-u'' + c u) dx = ∫f dx.

Интеграл от -u'' будет [-u'] на границах ячейки. Тогда:

-(u'(x_{i+1/2}) - u'(x_{i-1/2})) + c ∫u dx = ∫f dx.

Теперь нужно аппроксимировать производные u' в точках x_{i±1/2} и интегралы от u и f.

Для производных можно использовать центральные разности с высокой точностью. Например, u'(x_{i+1/2}) ≈ (u_{i+1} - u_i)/h - h^2/24 u'''(xi) + ... Но для четвертого порядка нужно учесть члены до h^4.

Но, возможно, стоит использовать разложения Тейлора для u_{i+1} и u_{i-1} вокруг точки x_i и выразить производные в полуцелых точках. Например, u'(x_{i+1/2}) можно аппроксимировать с помощью разностей значений в точках i+1, i, i-1, но с коэффициентами, обеспечивающими погрешность O(h^4).

Аналогично, интеграл ∫u dx по ячейке можно аппроксимировать по формуле Симпсона или другой квадратурной формуле высокого порядка. Например, формула Симпсона для [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}] с шагом h/2 даст точность O(h^5), что может подойти.

Но нужно согласовать все части уравнения так, чтобы суммарная погрешность была O(h^4). Возможно, для этого потребуется комбинировать разностные операторы и интегральные приближения.

Также нужно учесть член c*u. Если c постоянная, то интеграл от c*u можно аппроксимировать как c*h*u_i, но если нужна высокая точность, то лучше использовать формулу Симпсона для интеграла c*u, что даст c*(h/6)(u_{i-1/2} + 4u_i + u_{i+1/2})). Но значения в полуцелых точках неизвестны, их нужно выразить через узлы сетки.

Возможно, использовать интерполяционные полиномы. Например, для функции u на интервале [x_{i-1}, x_i, x_{i+1}] построить полином второй степени, который позволит выразить значения в полуцелых точках и интегралы с высокой точностью.

Также нужно обратить внимание на правую часть f(x). Интеграл от f можно аппроксимировать с помощью квадратурных формул высокого порядка, например, формула Симпсона для [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}].

После аппроксимации всех членов уравнения нужно собрать разностную схему. Для трехточечного шаблона (i-1, i, i+1) коэффициенты перед u_{i-1}, u_i, u_{i+1} должны быть подобраны так, чтобы погрешность аппроксимации была O(h^4).

Возможно, для этого нужно использовать разложение в ряд Тейлора до четвертого порядка для каждого члена схемы и подобрать коэффициенты, чтобы старшие члены погрешности сократились.

Например, разложим u_{i+1} и u_{i-1} вокруг точки i:

u_{i+1} = u_i + h u'_i + (h²/2) u''_i + (h³/6) u'''_i + (h^4/24) u''''_i + O(h^5)

u_{i-1} = u_i - h u'_i + (h²/2) u''_i - (h³/6) u'''_i + (h^4/24) u''''_i + O(h^5)

Тогда стандартная аппроксимация второй производной (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² = u''_i + (h²/12) u''''_i + O(h^4). То есть погрешность O(h²). Чтобы получить четвертый порядок, нужно компенсировать член с h². Это можно сделать, используя комбинацию разностных операторов.

Например, модифицированная схема:

(-u_{i+1} + 16u_i - u_{i-1})/(12h²) + ... Но это требует проверки.

Однако, в интегро-интерполяционном методе подход другой. Нужно интегрировать уравнение на ячейке и аппроксимировать интегралы с высокой точностью.

Давайте попробуем подробно:

1. Интегрируем уравнение -u'' + c u = f по интервалу [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}].

Получаем:

- [u'(x_{i+1/2}) - u'(x_{i-1/2})] + c ∫_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}} u dx = ∫_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}} f dx.

2. Аппроксимируем производные u' в полуцелых точках.

Для u'(x_{i+1/2}) можно использовать центральную разность между u_{i+1} и u_i, но с учетом высокой точности. Например, используя разности с большим шагом:

u'(x_{i+1/2}) ≈ (u_{i+1} - u_i)/h - (h²/24) u'''(x_i) + ... Но чтобы получить точность O(h^4), нужно использовать более точные формулы.

Можно использовать формулу:

u'(x_{i+1/2}) ≈ ( -u_{i+2} + 8u_{i+1} - 8u_{i-1} + u_{i-2} ) / (12h )

Но это требует пяти точек, что выходит за рамки трехточечного шаблона. Значит, нужно найти способ аппроксимировать производные в полуцелых точках, используя только соседние узлы.

Возможно, использовать полином второй степени, построенный по точкам i-1, i, i+1, и вычислить производную в точке i+1/2.

Пусть на отрезке [x_{i-1}, x_i, x_{i+1}] построен интерполяционный полином P(x) степени 2. Тогда производная P'(x_{i+1/2}) будет аппроксимацией u'(x_{i+1/2}).

Выразим P(x) через значения u_{i-1}, u_i, u_{i+1}.

Полином P(x) = a(x - x_i)^2 + b(x - x_i) + c.

Условия:

P(x_{i-1}) = u_{i-1} = a(h)^2 - b h + c,

P(x_i) = u_i = c,

P(x_{i+1}) = u_{i+1} = a(h)^2 + b h + c.

Решая эту систему, находим:

c = u_i,

a h² + b h + u_i = u_{i+1},

a h² - b h + u_i = u_{i-1}.

Вычитая уравнения: 2b h = u_{i+1} - u_{i-1} => b = (u_{i+1} - u_{i-1})/(2h).

Складывая: 2a h² + 2u_i = u_{i+1} + u_{i-1} => a = (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/(2h²).

Теперь P(x) = [(u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/(2h²)] (x - x_i)^2 + [(u_{i+1} - u_{i-1})/(2h)] (x - x_i) + u_i.

Производная P’(x) = [ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² ] (x - x_i) + (u_{i+1} - u_{i-1}))/(2h).

В точке x = x_{i+1/2} = x_i + h/2:

P’(x_{i+1/2}) = [ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² ]*(h/2) + (u_{i+1} - u_{i-1})/(2h).

Упрощаем:

= (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/(2h) + (u_{i+1} - u_{i-1}))/(2h)

= [ (u_{i+1} -2u_i + u_{i-1}) + (u_{i+1} - u_{i-1}) ] / (2h)

= [ 2u_{i+1} - 2u_i ] / (2h) = (u_{i+1} - u_i)/h.

Но это совпадает с обычной первой разностью вперед, которая имеет точность O(h). Это не годится для четвертого порядка. Значит, такой подход не подходит.

Возможно, нужно использовать полином более высокой степени или другой метод аппроксимации.

Другой подход: использовать разложение в ряд Тейлора для u_{i+1} и u_{i-1} до четвертого порядка и выразить производные в полуцелых точках.

Рассмотрим u'(x_{i+1/2}).

Разложим u_{i+1} и u_i вокруг x_{i+1/2}:

u_{i+1} = u(x_{i+1/2} + h/2) = u + (h/2)u' + (h²/8)u'' + (h³/48)u''' + (h^4/384)u'''' + ...

u_i = u(x_{i+1/2} - h/2) = u - (h/2)u' + (h²/8)u'' - (h³/48)u''' + (h^4/384)u'''' - ...

Вычтем эти уравнения:

u_{i+1} - u_i = h u' + (h³/24)u''' + ...

Отсюда u' = (u_{i+1} - u_i)/h - (h²/24)u''' + ...

Но нам нужно выразить u'(x_{i+1/2}) через u_{i+1}, u_i, u_{i-1}, чтобы погрешность была O(h^4).

Может потребоваться использовать симметричные точки. Например, комбинацию u_{i+1}, u_i, u_{i-1} для аппроксимации производной в x_{i+1/2}.

Но это сложно. Возможно, стоит воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Предположим, что u'(x_{i+1/2}) ≈ a u_{i+1} + b u_i + c u_{i-1}.

Разложим каждое u в ряд Тейлора вокруг x_{i+1/2}:

u_{i+1} = u(x_{i+1/2} + h/2) = u + (h/2)u' + (h²/8)u'' + (h³/48)u''' + (h^4/384)u'''' + ...

u_i = u(x_{i+1/2} - h/2) = u - (h/2)u' + (h²/8)u'' - (h³/48)u''' + (h^4/384)u'''' - ...

u_{i-1} = u(x_{i+1/2} - 3h/2) = u - (3h/2)u' + (9h²/8)u'' - (27h³/48)u''' + (81h^4/384)u'''' - ...

Подставим в выражение a u_{i+1} + b u_i + c u_{i-1}:

a[u + (h/2)u' + (h²/8)u'' + ...] + b[u - (h/2)u' + (h²/8)u'' - ...] + c[u - (3h/2)u' + (9h²/8)u'' - ...]

Собираем коэффициенты при u, u', u'' и т.д.:

Коэффициент при u: a + b + c

При u': (a*(h/2) - b*(h/2) - c*(3h/2))

При u'': (a*(h²/8) + b*(h²/8) + c*(9h²/8))

Мы хотим, чтобы это выражение приближало u'(x_{i+1/2}), т.е. коэффициент при u' должен быть 1, остальные — 0.

Получаем систему уравнений:

1. a + b + c = 0 (коэффициент при u)

2. (a*(h/2) - b*(h/2) - c*(3h/2)) = 1 (коэффициент при u')

3. (a*(h²/8) + b*(h²/8) + c*(9h²/8)) = 0 (коэффициент при u'')

Упростим уравнения, поделив на h:

2. (a/2 - b/2 - 3c/2) = 1/h

3. (a/8 + b/8 + 9c/8) = 0

Теперь система:

1. a + b + c = 0

2. (a - b - 3c)/2 = 1/h → a - b - 3c = 2/h

3. (a + b + 9c)/8 = 0 → a + b + 9c = 0

Из уравнения 1: a + b = -c

Подставим в уравнение 3: (-c) + 9c = 0 → 8c = 0 → c = 0

Тогда из уравнения 1: a + b = 0

Из уравнения 2: a - b = 2/h

Решаем:

a + b = 0

a - b = 2/h

Складываем: 2a = 2/h → a = 1/h

Тогда b = -1/h

Таким образом, u'(x_{i+1/2}) ≈ (1/h)u_{i+1} - (1/h)u_i + 0*u_{i-1} = (u_{i+1} - u_i)/h

Но это обычная правая разность, которая имеет первый порядок точности. То есть такой подход не дает нужной точности. Значит, нужно брать больше точек или использовать другую стратегию.

Поскольку трехточечный шаблон ограничен, возможно, для достижения четвертого порядка нужно использовать не только точки i-1, i, i+1, но и, например, i+2, i-2, но тогда шаблон расширяется. Но в условии сказано трехточечный шаблон, значит, можно использовать только i-1, i, i+1.

Возможно, стоит рассмотреть интегрирование на двойном шаге или использовать метод Рунге, но не уверен.

Вернемся к исходному интегро-интерполяционному методу. Возможно, для повышения порядка аппроксимации нужно использовать более точные квадратурные формулы для интегралов.

Интеграл от u по [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}] можно аппроксимировать формулой Симпсона, которая для функции, заданной в трех точках, дает точность O(h^5). Формула Симпсона требует значения функции в середине интервала, но у нас их нет. Однако, можно выразить значение в середине через интерполяционный полином.

Например, значение u в x_{i-1/2} можно аппроксимировать как (u_{i-1} + u_i)/2 - (h²/8)u''(xi) + ... Но это вносит погрешность.

Альтернативно, использовать составную формулу Симпсона на двух интервалах. Но это требует дополнительных точек.

Возможно, использовать квадратурную формулу высокой точности, используя только доступные узлы. Например, формула трапеций с поправкой.

Интеграл от u по [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}] с шагом h:

Если использовать квадратуру Гаусса, но для трех точек можно получить более высокий порядок.

Но, возможно, проще использовать разложение в ряд Тейлора для u и проинтегрировать его.

Разложим u(x) вокруг x_i:

u(x) = u_i + (x - x_i)u'_i + (x - x_i)^2 u''_i / 2 + (x - x_i)^3 u'''_i / 6 + (x - x_i)^4 u''''_i / 24 + ...

Интегрируем от x_{i-1/2} до x_{i+1/2}:

∫u dx = ∫[u_i + (x - x_i)u'_i + (x - x_i)^2 u''_i / 2 + ... ] dx

= u_i * h + u'_i * ∫(x - x_i) dx + (u''_i / 2) ∫(x - x_i)^2 dx + ...

Пределы интегрирования от -h/2 до h/2.

Интеграл от (x - x_i)^n будет:

Для нечетных n: 0

Для четных:

∫_{-h/2}^{h/2} (x)^n dx = 2*(h/2)^{n+1}/(n+1)

Таким образом:

∫u dx ≈ u_i * h + (u''_i / 2) * ( (h/2)^3 * 2 / 3 ) + (u''''_i / 24) * ( (h/2)^5 * 2 / 5 ) + ...

= u_i h + (u''_i h^3)/24 + (u''''_i h^5)/1920 + ...

Теперь выразим u''_i из исходного уравнения: u''_i = -f_i + c u_i.

Подставим:

∫u dx ≈ u_i h + ( (-f_i + c u_i) h^3 ) / 24 + O(h^5)

Тогда интеграл от c u:

c ∫u dx ≈ c u_i h + c ( (-f_i + c u_i) h^3 ) / 24 + O(h^5)

Но для четвертого порядка нам нужно учесть члены до h^4. Поэтому, возможно, нужно оставить h^3, но это может вносить погрешность.

Однако, в разностной схеме члены с h^3 будут умножены на коэффициенты, и возможно, их нужно учесть.

Теперь рассмотрим левую часть уравнения:

- [u'(x_{i+1/2}) - u'(x_{i-1/2})] + c ∫u dx ≈ - [ (u_{i+1} - u_i)/h - (u_i - u_{i-1})/h ] + c [ u_i h + ... ]

= - [ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h ] + c h u_i + ...

Но это дает стандартную схему второго порядка. Чтобы повысить порядок, нужно учесть поправки из разложения.

Но, возможно, нужно использовать более точные аппроксимации для производных u' в полуцелых точках.

Вернемся к разложению в ряд Тейлора для u'(x_{i+1/2}).

Ранее мы получили, что u'(x_{i+1/2}) ≈ (u_{i+1} - u_i)/h - (h²/24)u'''_i + ...

Но u'''_i можно выразить через исходное уравнение. Продифференцируем исходное уравнение:

-u'' + c u = f

Дифференцируем по x:

-u''' + c u' = f'

Отсюда u''' = c u' - f'

Но это вносит производные f, что может быть неудобно. Если f гладкая, то можно аппроксимировать f' разностными формулами.

Однако, это усложняет схему. Возможно, вместо этого использовать разностные соотношения более высокого порядка.

Другой подход: использовать метод конечных разностей с повышенным порядком аппроксимации для оператора -u'' + c u.

Стандартная аппроксимация для -u'' + c u:

(- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h² + c u_i ) = f_i + O(h²)

Чтобы повысить порядок до четвертого, нужно учесть следующий член разложения ошибки.

Ошибка аппроксимации для второй производной: (h²/12) u''''(xi) + ...

Тогда, если мы добавим член, компенсирующий эту ошибку, то получим схему четвертого порядка.

Однако, u'''' можно выразить через исходное уравнение. Дважды дифференцируем исходное уравнение:

-u'' + c u = f

Дифференцируем дважды:

-u'''' + c u'' = f''

Но из исходного уравнения u'' = -f + c u. Подставляем:

-u'''' + c (-f + c u) = f''

=> -u'''' = f'' + c f - c² u

Таким образом, u'''' = -f'' - c f + c² u

Подставляем в ошибку:

Ошибка второй производной: (h²/12)( -f'' - c f + c² u ) + ...

Тогда, чтобы скомпенсировать этот член, нужно добавить его в разностную схему:

(- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h² + c u_i ) + (h²/12)( -f'' - c f + c² u ) = f_i

Но это приводит к необходимости вычислять f'' и f, что может быть неудобно. Однако, если f достаточно гладкая, можно аппроксимировать f'' разностными формулами.

Например, f''_i ≈ (f_{i+1} - 2f_i + f_{i-1}) / h².

Тогда разностная схема примет вид:

(- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h² + c u_i ) + (h²/12)( - (f_{i+1} - 2f_i + f_{i-1}) / h² ) - c f_i + c² u_i ) = f_i

Упростим:

- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h² + c u_i - (h²/12)( (f_{i+1} - 2f_i + f_{i-1}) / h² + c f_i - c² u_i ) = f_i

Переносим все в правую часть:

- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h² + c u_i = f_i + (h²/12)( (f_{i+1} - 2f_i + f_{i-1}) / h² + c f_i - c² u_i )

Это приводит к схеме с поправкой, которая имеет погрешность O(h^4). Однако, такая схема требует знания f в соседних узлах и может быть сложной для реализации, особенно если c непостоянна.

Но пользователь упомянул интегро-интерполяционный метод, который обычно не требует явного вычисления производных правой части. Возможно, здесь нужно иначе подойти.

Вернемся к интегро-интерполяционному методу. При интегрировании уравнения на интервале [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}], нужно аппроксимировать интегралы от u и f с высокой точностью.

Предположим, что мы используем формулу Симпсона для интеграла от f:

∫_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}} f(x) dx ≈ (h/6)[f_{i-1/2} + 4f_i + f_{i+1/2}]

Но значения f в полуцелых точках неизвестны. Можно выразить их через значения в целых точках с помощью интерполяции. Например, f_{i+1/2} ≈ (f_i + f_{i+1})/2 - (h²/8)f''(xi) + ... Но это снова требует производных.

Если f гладкая, можно использовать средние арифметические:

f_{i+1/2} ≈ (f_i + f_{i+1})/2

f_{i-1/2} ≈ (f_{i-1} + f_i)/2

Тогда формула Симпсона станет:

(h/6)[ (f_{i-1} + f_i)/2 + 4f_i + (f_i + f_{i+1})/2 ] = (h/6)[ (f_{i-1} + f_i + 4f_i + f_i + f_{i+1}) / 2 ] = (h/6)( (f_{i-1} + 6f_i + f_{i+1}) / 2 ) = h/12 (f_{i-1} + 6f_i + f_{i+1})

Точность такой аппроксимации будет O(h^4), если f достаточно гладкая.

Аналогично, интеграл от u можно аппроксимировать формулой Симпсона:

∫u dx ≈ h/12 (u_{i-1} + 6u_i + u_{i+1})

Теперь вернемся к уравнению:

- [u'(x_{i+1/2}) - u'(x_{i-1/2})] + c ∫u dx = ∫f dx

Аппроксимируем производные u' в полуцелых точках с высокой точностью. Как ранее, если использовать полином второй степени, то производные получаются первого порядка, что недостаточно. Значит, нужно найти другой способ.

Возможно, использовать разностные формулы для первой производной с четвертым порядком. Например, симметричные разности:

u'(x_{i+1/2}) ≈ ( -u_{i+2} + 8u_{i+1} - 8u_{i-1} + u_{i-2} ) / (12h)

Но это требует пяти точек, что выходит за рамки трехточечного шаблона. Пользователь указал трехточечный шаблон, значит, можно использовать только i-1, i, i+1.

Тогда как получить аппроксимацию производной в полуцелой точке с четвертым порядком?

Возможно, использовать метод с промежуточными шагами или неявные схемы, но это усложнит схему.

Возможно, комбинировать интегрирование и разностные операторы. Например, для левой части:

- [u'(x_{i+1/2}) - u'(x_{i-1/2})] ≈ - (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h + (h²/12)( ... )

Но не уверен.

Альтернативный подход: использовать интегро-интерполяционный метод на более широком интервале. Например, интегрировать уравнение на интервале [x_{i-1}, x_{i+1}], что даст двухшаговый интервал. Но тогда шаблон будет включать точки i-2, i-1, i, i+1, i+2, что противоречит условию трехточечного шаблона.

Возможно, я упускаю какой-то стандартный прием для повышения порядка аппроксимации в интегро-интерполяционном методе. Например, использование более точных квадратурных формул для интегралов и аппроксимации потоков.

Если для интегралов от u и f использовать формулы Симпсона, а для производных u' в полуцелых точках — формулы с центральными разностями четвертого порядка, то можно достичь требуемого порядка.

Но для этого нужно, чтобы значения производных в полуцелых точках аппроксимировались с четвертым порядком, используя трехточечный шаблон. Это возможно, если использовать несимметричные комбинации.

Например, аппроксимация u'(x_{i+1/2}):

u'(x_{i+1/2}) ≈ ( -u_{i+2} + 8u_{i+1} - 8u_i + u_{i-1} ) / (12h)

Но это требует точки i+2 и i-1, что выходит за рамки трехточечного шаблона (i-1, i, i+1). Следовательно, такой подход невозможен.

Может быть, использовать интегро-интерполяционный метод с аппроксимацией интегралов высокого порядка и выразить все через трехточечный шаблон?

Вернемся к уравнению:

- [u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] + c * ∫u dx = ∫f dx

Если аппроксимировать ∫u dx и ∫f dx по формуле Симпсона с использованием трех точек (i-1, i, i+1), то для интеграла от u:

∫_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}} u dx ≈ h/12 (u_{i-1} + 6u_i + u_{i+1})

Аналогично для f.

Теперь нужно аппроксимировать u'(i+1/2) - u'(i-1/2) с четвертым порядком. Поскольку это разность производных на концах интервала, можно использовать разности центральных производных.

Например, если взять:

u'(i+1/2) ≈ (u_{i+1} - u_i)/h + a*h^3*u''' + ...

u'(i-1/2) ≈ (u_i - u_{i-1})/h + a*h^3*u''' + ...

Тогда разность:

[u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] ≈ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h + 2a*h^3*u''' + ...

Но чтобы погрешность была O(h^4), нужно, чтобы коэффициент при h^3 был скомпенсирован.

Однако, u''' можно выразить через исходное уравнение. Из уравнения:

-u'' + c u = f

Продифференцируем:

-u''' + c u' = f'

Отсюда u''' = c u' - f'

Но тогда:

[u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] ≈ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h + 2a*h^3*(c u' - f') + ...

Если мы сможем аппроксимировать u' и f' с достаточной точностью, то можно подобрать коэффициент a так, чтобы погрешность стала O(h^4). Но это усложняет схему.

Возможно, проще использовать модифицированную разностную схему, которая изначально имеет четвертый порядок аппроксимации. Например, компактные схемы (Padé approximations), которые используют трехточечный шаблон и имеют высокий порядок.

Например, компактная схема для второй производной:

(1/12)u_{i-1}'' + (10/12)u_i'' + (1/12)u_{i+1}'' = (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h²

Эта схема имеет погрешность O(h^4). Тогда, подставляя в исходное уравнение -u'' + c u = f, получаем:

- [ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) / h² ] + c [ (1/12)u_{i-1} + (10/12)u_i + (1/12)u_{i+1} ) ] = [ (1/12)f_{i-1} + (10/12)f_i + (1/12)f_{i+1} ) ]

Но это предположение, нужно проверить.

Однако, пользователь просит использовать интегро-интерполяционный метод, а не компактные схемы. Значит, нужно придерживаться балансного подхода.

Итак, подытожу:

1. Интегрируем уравнение по ячейке [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}].

2. Аппроксимируем интегралы от u и f с помощью формул Симпсона, используя значения в узлах i-1, i, i+1.

3. Аппроксимируем производные u' в полуцелых точках с высокой точностью, используя трехточечный шаблон.

Возможно, для производных использовать разности с весами, обеспечивающими четвертый порядок.

Например, для u'(x_{i+1/2}):

u'(x_{i+1/2}) ≈ ( -u_{i+1} + 7u_i + 7u_{i-1} - u_{i-2} ) / (12h)

Но это снова требует четырех точек. Не подходит.

Возможно, использовать несимметричные формулы. Например:

u'(x_{i+1/2}) ≈ ( 3u_{i+1} + 10u_i - 15u_{i-1} + 2u_{i-2} ) / (12h )

Но это пятиточечная формула.

Похоже, что в рамках трехточечного шаблона невозможно получить аппроксимацию производной в полуцелой точке с четвертым порядком. Значит, нужно искать другой подход.

Вернуться к интегро-интерполяционному методу и попытаться увеличить порядок аппроксимации за счет точности интегрирования.

Если интеграл от u аппроксимируется с O(h^5), а интеграл от f с O(h^5), и разность производных аппроксимируется с O(h^4), тогда общая схема будет иметь четвертый порядок.

Но как аппроксимировать разность производных с O(h^4)?

Возможно, использовать следующее:

Из интегрирования уравнения:

- [u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] + c ∫u dx = ∫f dx

Если ∫u dx аппроксимирован с O(h^5), а ∫f dx тоже с O(h^5), то основная погрешность будет в разности производных.

Стандартная аппроксимация разности производных:

[u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] ≈ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h + O(h²)

Чтобы повысить порядок до O(h^4), нужно найти аппроксимацию этой разности с более высоким порядком.

Предположим, что:

[u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] = (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h + A h³ u''' + ...

Нам нужно выбрать A так, чтобы погрешность была O(h^4). Для этого нужно выразить u''' через исходное уравнение.

Из уравнения:

u''' = c u' - f'

Но u' можно аппроксимировать с центральной разностью: u'_i ≈ (u_{i+1} - u_{i-1})/(2h) + O(h²)

Тогда:

u''' ≈ c (u_{i+1} - u_{i-1})/(2h) - f'_i

Но f'_i можно аппроксимировать центральной разностью: f'_i ≈ (f_{i+1} - f_{i-1})/(2h) + O(h²)

Подставляя все обратно, получаем выражение для погрешности, которое можно использовать для коррекции схемы.

Однако, это усложняет схему и требует знания производных f.

Возможно, для достижения четвертого порядка нужно использовать дополнительные узлы для аппроксимации, но в условии сказано трехточечный шаблон, поэтому это недопустимо.

Вывод: В рамках интегро-интерполяционного метода на трехточечном шаблоне с постоянным шагом построить схему четвертого порядка аппроксимации можно, используя высокоточные квадратурные формулы для интегралов и аппроксимации потоков с учетом членов более высокого порядка через разложение Тейлора и исходное уравнение.

Итоговая схема будет иметь вид:

-(u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² + c u_i + (h²/12)(c² u_i - c f_i - f'') = f_i + (h²/12)f''

Но для практической реализации нужно аппроксимировать f'' и f', что требует дополнительных условий на гладкость f и использование соседних узлов для f.

Однако, если c=0, схема упрощается до стандартной с поправкой на четвертый порядок. Для c≠0 нужно аккуратно учитывать члены с c.

Возможно, правильный ответ заключается в использовании разностной схемы с весовыми коэффициентами, полученными из интегро-интерполяционного метода с аппроксимацией интегралов по формуле Симпсона и производных с повышенным порядком.

Окончательная схема может выглядеть так:

Для каждого внутреннего узла i:

-(u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² + c*(u_{i-1} + 10u_i + u_{i+1})/12 = (f_{i-1} + 10f_i + f_{i+1})/12

Это получается, если аппроксимировать интегралы от u и f по формуле Симпсона, а разность производных аппроксимировать стандартным вторым порядком, но с учетом весов из интегрирования.

Проверим порядок аппроксимации:

Левая часть:

- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² ≈ -u'' + (h²/12)u'''' + ...

c*(u_{i-1} + 10u_i + u_{i+1})/12 ≈ c*( (u_i - h u' + h²/2 u'' - h³/6 u''' + h^4/24 u'''' ) + 10u_i + (u_i + h u' + h²/2 u'' + h³/6 u''' + h^4/24 u'''' ) ) /12

= c*(12u_i + h² u'' + h^4/12 u'''' ) /12 ≈ c u_i + c h² u'' /12 + c h^4 u'''' /144

Из исходного уравнения u'' = -f + c u. Подставляем:

≈ c u_i + c h² (-f + c u_i)/12 + ...

Правая часть:

(f_{i-1} + 10f_i + f_{i+1})/12 ≈ (f_i - h f' + h²/2 f'' - h³/6 f''' + h^4/24 f'''' + 10f_i + f_i + h f' + h²/2 f'' + h³/6 f''' + h^4/24 f'''' ) /12

= (12f_i + h² f'' + h^4/12 f'''' ) /12 ≈ f_i + h² f'' /12 + h^4 f'''' /144

Теперь соберем все вместе:

Левая часть ≈ -u'' + c u_i + (h²/12)( -u'''' + c (-f + c u_i) ) + ...

Правая часть ≈ f_i + h² f'' /12 + ...

Из исходного уравнения -u'' + c u = f, поэтому основная часть уравновешивается. Оставшиеся члены:

(h²/12)( -u'''' + c (-f + c u) ) ≈ (h²/12)( (c² u - c f - f'' ) )

И правая часть имеет h²/12 f''.

Таким образом, погрешность схемы будет O(h²), что неудовлетворительно. Значит, такой подход не дает четвертого порядка.

Тогда, возможно, нужно использовать другую аппроксимацию разности производных. Если взять:

[u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] ≈ (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h + (h²/12)( -f'' - c f + c² u )

Тогда левая часть уравнения:

- [u'(i+1/2) - u'(i-1/2)] + c ∫u dx ≈ - (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h - (h²/12)( -f'' - c f + c² u ) + c*(u_i h + (h³/24)( -f + c u ) )

= - (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h + c u_i h + (h²/12)( f'' + c f - c² u ) + c h³/24 (-f + c u ) + ...

Правая часть:

∫f dx ≈ f_i h + (h³/24) f'' + ...

Приравниваем:

- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² + c u_i = f_i + (h²/12)( f'' + c f - c² u ) / h² + ...

Упрощаем:

- (u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/h² + c u_i = f_i + (1/12)( f'' + c f - c² u ) + ...

Но это снова требует знания f''.

Похоже, без включения дополнительных членов или использования более широкого шаблона не обойтись. Возможно, пользователь ожидает применения метода повышения порядка аппроксимации за счет использования интегро-интерполяционного метода с учетов дополнительных условий.

В итоге, после всех размышлений, наиболее вероятная схема четвертого порядка, получаемая интегро-интерполяционным методом на трехточечном шаблоне, включает использование формул Симпсона для интегралов и аппроксимации производных с учетом членов более высокого порядка через разложение Тейлора и исходное уравнение. Конечная разностная схема будет содержать весовые коэффициенты для u_{i±1} и f_{i±1}.