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\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
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% tikz
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\definecolor{jellybean}{HTML}{2D919A}

\titleformat{\section}
{\color{jellybean}\sffamily\large\bfseries}
{\color{jellybean}\thesection}{1em}{}[\hrule]

\newcommand{\dd}[1]{\mathrm{d}#1}
\newcommand{\nm}[1]{\| #1 \|}
\newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1, #2 \right\rangle }

\DeclareMathOperator{\dvg}{div}
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}

\pagenumbering{gobble}

\begin{document}
    \tikz[remember picture, overlay] \draw ($(current page.north) + (0,-0.7)$) node {\textcolor{jellybean}{\bfseries CÁLCULO III - UNIDADE 3}};%
    \begin{multicols}{2}
        \section*{ROTACIONAL E DIVERGENTE}
        \(F(x,y,z) = (P, Q, R)\)

        \vspace{10pt}
        \(
        \begin{array}{rcl}
            \rot F &=& \nabla \times F\\
            &=& \displaystyle \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y }\right)
        \end{array}
        \)

        \vspace{10pt}
        \(
        \begin{array}{rcl}
            \dvg F &=& \nabla \cdot F\\
            &=& \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 
        \end{array}
        \)

        \section*{INTEGRAIS DE SUPERFICIE (FUNÇÃO)} 

        \(S\) é uma superficie parametrizada dada por \(r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u.v))\)

        \vspace{5pt}
        \(\displaystyle \iint \limits_S f(x,y,z) \dd{S} = \iint \limits_D f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \left\lVert r_u \times r_v \right\rVert \dd{A}\)

        \vspace{15pt}
        se \(r(u,v) = r(x,y) = (x, y, g(x,y))\)

        \vspace{5pt}
        \(\displaystyle \iint \limits_S f(x,y,z) \dd{S} = \iint \limits_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{g_x^2 + g_y^2 + 1} \,\dd{A}\)

        \section*{INTEGRAIS DE SUPERFICIE (CAMPO) OU FLUXO}

        \(\displaystyle \iint \limits_S F \cdot \dd{S} = \iint \limits_S \left\langle F, n\right\rangle \dd{S} = \iint \limits_D \left\langle F(r(u,v)), r_u \times r_v\right\rangle \dd{A}\)

        \vspace{15pt}
        se \(r(u,v) = r(x,y) = (x, y, g(x,y))\)

        \vspace{5pt}
        \(\displaystyle \iint \limits_S F \cdot \dd{S} = \iint \limits_D -P \cdot g_x -Q \cdot g_y + R \, \dd{A}\)

        \vspace{5pt}
        onde \((P, Q, R) = F(r(x,y)) = F(x, y, g(x, y))\)

        \section*{TEOREMA DE STOKES}
        
        \(\displaystyle \int \limits_{\partial S} F \cdot dr = \iint \limits_S \rot F \, \dd{S}\)

        \section*{TEOREMA DA DIVERGÊNCIA}

        \(\displaystyle \iint \limits_S F \cdot \dd{S}= \iiint \limits_B \dvg F \, \dd{V}\)

        \vspace{5pt}
        onde \(S\) é uma superficie fechada e \(B\) é a regiao limitada por \(S\)

        \section*{COORDENADAS POLARES}

        \(
        \begin{cases}
            x = r \cos \theta\\
            y = r \sin \theta\\
        \end{cases} \qquad
        \)
        \(\displaystyle \iint \limits_D f(x,y) \dd{A} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \int_{r_i}^{r_f} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \underline{r} \,\dd{r}\,\dd{\theta}\)
        \section*{COORDENADAS CILINDRICAS}

        \(
        \begin{cases}
            x = r \cos \theta\\
            y = r \sin \theta\\
            z = z
        \end{cases} \quad
        \)
        \(\displaystyle \iiint \limits_E f(x,y,z) \dd{V}= \int_{\theta_i}^{\theta_f} \int_{r_i}^{r_f} \int_{z_i}^{z_f} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \underline{r}\, \dd{z}\,\dd{r}\,\dd{\theta}\)

        \section*{COORDENADAS ESFERICAS}

        \(
        \begin{cases}
            x = \rho \sin \phi \cos \theta\\
            y = \rho \sin \phi \sin \theta\\
            z = \rho \cos \phi 
        \end{cases} \qquad
        \rho \geqslant 0, \;\; 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, \;\; 0 \leqslant \phi \leqslant \pi
        \)

        \vspace{10pt}
        \(\displaystyle \iiint \limits_E f(x,y,z) \, \dd{V} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \int_{\phi_i}^{\phi_f} \int_{\rho_i}^{\rho_f} f(\rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \underline{\rho^2 \sin \phi}  \,\dd{\rho}\,\dd{\phi}\,\dd{\theta}\)
    \end{multicols}
    
    \newpage

    \tikz[remember picture, overlay] \draw ($(current page.north) + (0,-0.7)$) node {\textcolor{jellybean}{\bfseries ÁLGEBRA LINEAR II - UNIDADE 3}};%
    \begin{multicols*}{3}
        \section*{ISOMETRIAS (OPERADORES UNITÁRIOS)}
        \begin{itemize}[label=-, leftmargin=*]
            \item \(\nm{Tu - Tv} = \nm{u - v}\)
            \item se \(T\) for linear, \(\nm{Tv} = \nm{v}\)
            \item se \(\lambda\) for autovalor, então \(|\lambda| = 1\)
            \item são equivalentes
            \begin{enumerate}
                \item \(T\) é unitário
                \item \(\inner{Tu}{Tv}\)
                \item \(T^{*} \circ T = I\)
            \end{enumerate}
            \item se \(\{ v_1, \dots, v_n\}\) é ortonormal, então \(\{ Tv_1, \dots, Tv_n\}\) também é
            \item \([T]^*_{\beta} \cdot [T] = I_n\)
            \item \(T\) unitário \(\Longleftrightarrow \) \(T^*\) unitário
        \end{itemize}

        \section*{OPERADORES NORMAIS}

        \begin{itemize}[label=-, leftmargin=*]
            \item \(T \circ T^* = T^* \circ T\)
            \item todo operador autoadjunto é normal
            \item se \(T\) é linear, \(\nm{Tv} = \nm{T^*v}\)
            \item \(Tv = \lambda v \implies T^* \bar{\lambda}v\)
            \item \([T]^*_{\beta} [T]_{\beta} = [T]_{\beta} [T]^*_{\beta}\)
        \end{itemize}

        \section*{FORMAS SESQUILINEARES}
        \(
        \begin{array}{rrcl}
            f: & V \times V & \to & \mathbb{K}\\
               & (u,v)      & \mapsto & f(u,v) 
        \end{array}
        \)

        \begin{enumerate}
            \item \(f(\lambda u_1 + u_2, v) = \lambda f(u_1, v) + f(u_2, v)\)
            \item \(f (u,\lambda v_1 + v_2) = \lambda f(u, v_1) + f(u, v_2)\)
        \end{enumerate}

        se \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) podemos dizer que \(f\) é uma forma bilinear.

        \section*{FORMAS HERMETIANAS}
        \(
        \begin{array}{rrcl}
            f: & V \times V & \to & \mathbb{K}\\
               & (u,v)      & \mapsto & f(u,v) 
        \end{array}
        \)

        \vspace{10pt}
        \(f(u, v) = \overline{f(v, u)} \)

        \vspace{10pt}
        se \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) podemos dizer que \(f\) é uma forma simétrica, nesse caso, \(f(u,v) = f(v,u)\)

        \vspace{10pt}
        \(\exists ! \; T : V \to V\) linear, tal que \(f(u,v) = \inner{Tu}{v}\)

        \vspace{10pt}
        \(f\) hermetiana \(\Longleftrightarrow\) \(T \equiv T^*\)

        \section*{MATRIZ DE FORMAS}

        \( [f]_B = 
        \begin{bmatrix}
            f(v_1, v_1) & f(v_2, v_1) & \cdots & f(v_n, v_1)\\
            f(v_1, v_2) & f(v_2, v_2) & \cdots & f(v_n, v_2)\\
            \vdots      & \vdots      & \ddots & \vdots\\
            f(v_1, v_n) & f(v_2, v_n) & \cdots & f(v_n, v_n)
        \end{bmatrix}
        \)

        \section*{TEOREMA DO EIXO PRINCIPAL}
        \(f\) simétrica \(\implies\) \(\exists \, \beta\) base de \(V\) tal que \([f]_{\beta}\)  é diagonal 

        \(\beta\) ortonormal \(\implies\) \([f]_{\beta} = [T]_{\beta}\)

        \section*{FORMAS QUADRATICAS}
        \(q(u) = f(u, u)\)

        \vspace{5pt}
        \(f(u,v) + f(v,u) = \dfrac{1}{2}\left( q(u+v) - q(u-v) \right)\)

        \vspace{5pt}
        \(f(u,v) = \dfrac{1}{4} \left( q(u+v) - q(u-v) \right)\) se \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) 

        \vspace{5pt}
        podemos expressar uma forma \(q\) como soma de quadrados:

        \vspace{5pt}
        \(q(y_1, y_2, \dots , y_n) = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2\)

        \vspace{5pt}
        a \textbf{assinatura} de é dada por \(\underline{n_+ - n_-}\), onde \(n_+\) é a quantidade de \(d_i\) positivos, e \(n_-\) é a quantidade de \(d_i\) negativos

        \section*{POLINÔMIO MÍNIMO}
        seja \(T: V \to V\) um operador linear, o polinômio, \(m_T (x)\) é mínimo se, \(m_T (T) = 0\)

        \vspace{5pt}
        \(
        \begin{array}{rcl}
            m_T (x) &=& x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_1 x + a_0\\
            m_T (T) &=& T^m + a_{m-1} T^{m-1} + \cdots + a_1 T + a_0 I
        \end{array}
        \)

        \vspace{10pt}
        seja \(p_T (x)\) \textbf{polinômio caracteristico} de \(T\)

        \(p_T (T) = 0\) (teorema de Cayley-Hamilton)

        \begin{enumerate}
            \itemsep0pt
            \item \(m_T \vert p_T\)
            \item \(p_T\) e \(m_T\) tem as mesmas raizes
            \item \(\partial m_T \leqslant \partial p_T\)
            \item \(m_T(T) = p_T(T) = 0\)
        \end{enumerate}

        \section*{FORMA CANÔNICA DE JORDAN}
        seja \(A\) uma matriz de ordem \(n\), e seja \(\lambda\) um autovalor de \(A\), a matriz

        \vspace{5pt}
        \(J_A(\lambda) = 
        \begin{bmatrix}
            \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
            0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\
            0 & 0 & \lambda & \cdots & 0\\
            \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
            0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda
        \end{bmatrix}_{r \times r}
        \)

        \vspace{5pt}
        é um \textbf{bloco de Jordan} associado ao autovalor \(\lambda\)

        \vspace{5pt}
        sejam \(p_A (x)\) e \(m_A (x)\) os polinômios caracteristico e minimo de \(A\) e \(m_i \leqslant p_i\)

        \vspace{5pt}
        \(p_A (x) = (x- \lambda_1)^{p_1} (x- \lambda_2)^{p_2} \cdots (x- \lambda_r)^{p_r}\)

        \(m_A (x) = (x- \lambda_1)^{m_1} (x- \lambda_2)^{m_2} \cdots (x- \lambda_r)^{m_r}\)

        \begin{enumerate}[leftmargin=*]
            \itemsep0pt
            \item o primeiro bloco \(J(\lambda_i)\) é de tamanho \(m_i\)
            \item os blocos \(J(\lambda_i)\) devem ser de tamanho \textbf{igual ou menor} ao anterior
            \item a quantidade de blocos para um \(\lambda_i\) é determinado pela dimensão do auto-espaço de \(\lambda_i\)
            \item o tamanho da matriz diagonalizada é o mesmo da matriz original
            \item é preciso achar o polinômio caracteristico e mínimo para diagonalizar
        \end{enumerate}
    \end{multicols*}
\end{document}