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\documentclass[a4paper, 10pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[margin=0.5in, landscape]{geometry} \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{amsmath, amsfonts, mathtools, amsthm, amssymb, textcomp, gensymb} \usepackage{titlesec} \usepackage{cmbright} \usepackage{multicol} \usepackage{enumitem} % tikz \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc, positioning} \setlength\parindent{0pt} \definecolor{jellybean}{HTML}{2D919A} \titleformat{\section} {\color{jellybean}\sffamily\large\bfseries} {\color{jellybean}\thesection}{1em}{}[\hrule] \newcommand{\dd}[1]{\mathrm{d}#1} \newcommand{\nm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1, #2 \right\rangle } \DeclareMathOperator{\dvg}{div} \DeclareMathOperator{\rot}{rot} \pagenumbering{gobble} \begin{document} \tikz[remember picture, overlay] \draw ($(current page.north) + (0,-0.7)$) node {\textcolor{jellybean}{\bfseries CÁLCULO III - UNIDADE 3}};% \begin{multicols}{2} \section*{ROTACIONAL E DIVERGENTE} \(F(x,y,z) = (P, Q, R)\) \vspace{10pt} \( \begin{array}{rcl} \rot F &=& \nabla \times F\\ &=& \displaystyle \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y }\right) \end{array} \) \vspace{10pt} \( \begin{array}{rcl} \dvg F &=& \nabla \cdot F\\ &=& \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \end{array} \) \section*{INTEGRAIS DE SUPERFICIE (FUNÇÃO)} \(S\) é uma superficie parametrizada dada por \(r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u.v))\) \vspace{5pt} \(\displaystyle \iint \limits_S f(x,y,z) \dd{S} = \iint \limits_D f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \left\lVert r_u \times r_v \right\rVert \dd{A}\) \vspace{15pt} se \(r(u,v) = r(x,y) = (x, y, g(x,y))\) \vspace{5pt} \(\displaystyle \iint \limits_S f(x,y,z) \dd{S} = \iint \limits_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{g_x^2 + g_y^2 + 1} \,\dd{A}\) \section*{INTEGRAIS DE SUPERFICIE (CAMPO) OU FLUXO} \(\displaystyle \iint \limits_S F \cdot \dd{S} = \iint \limits_S \left\langle F, n\right\rangle \dd{S} = \iint \limits_D \left\langle F(r(u,v)), r_u \times r_v\right\rangle \dd{A}\) \vspace{15pt} se \(r(u,v) = r(x,y) = (x, y, g(x,y))\) \vspace{5pt} \(\displaystyle \iint \limits_S F \cdot \dd{S} = \iint \limits_D -P \cdot g_x -Q \cdot g_y + R \, \dd{A}\) \vspace{5pt} onde \((P, Q, R) = F(r(x,y)) = F(x, y, g(x, y))\) \section*{TEOREMA DE STOKES} \(\displaystyle \int \limits_{\partial S} F \cdot dr = \iint \limits_S \rot F \, \dd{S}\) \section*{TEOREMA DA DIVERGÊNCIA} \(\displaystyle \iint \limits_S F \cdot \dd{S}= \iiint \limits_B \dvg F \, \dd{V}\) \vspace{5pt} onde \(S\) é uma superficie fechada e \(B\) é a regiao limitada por \(S\) \section*{COORDENADAS POLARES} \( \begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ \end{cases} \qquad \) \(\displaystyle \iint \limits_D f(x,y) \dd{A} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \int_{r_i}^{r_f} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \underline{r} \,\dd{r}\,\dd{\theta}\) \section*{COORDENADAS CILINDRICAS} \( \begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ z = z \end{cases} \quad \) \(\displaystyle \iiint \limits_E f(x,y,z) \dd{V}= \int_{\theta_i}^{\theta_f} \int_{r_i}^{r_f} \int_{z_i}^{z_f} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \underline{r}\, \dd{z}\,\dd{r}\,\dd{\theta}\) \section*{COORDENADAS ESFERICAS} \( \begin{cases} x = \rho \sin \phi \cos \theta\\ y = \rho \sin \phi \sin \theta\\ z = \rho \cos \phi \end{cases} \qquad \rho \geqslant 0, \;\; 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, \;\; 0 \leqslant \phi \leqslant \pi \) \vspace{10pt} \(\displaystyle \iiint \limits_E f(x,y,z) \, \dd{V} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \int_{\phi_i}^{\phi_f} \int_{\rho_i}^{\rho_f} f(\rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \underline{\rho^2 \sin \phi} \,\dd{\rho}\,\dd{\phi}\,\dd{\theta}\) \end{multicols} \newpage \tikz[remember picture, overlay] \draw ($(current page.north) + (0,-0.7)$) node {\textcolor{jellybean}{\bfseries ÁLGEBRA LINEAR II - UNIDADE 3}};% \begin{multicols*}{3} \section*{ISOMETRIAS (OPERADORES UNITÁRIOS)} \begin{itemize}[label=-, leftmargin=*] \item \(\nm{Tu - Tv} = \nm{u - v}\) \item se \(T\) for linear, \(\nm{Tv} = \nm{v}\) \item se \(\lambda\) for autovalor, então \(|\lambda| = 1\) \item são equivalentes \begin{enumerate} \item \(T\) é unitário \item \(\inner{Tu}{Tv}\) \item \(T^{*} \circ T = I\) \end{enumerate} \item se \(\{ v_1, \dots, v_n\}\) é ortonormal, então \(\{ Tv_1, \dots, Tv_n\}\) também é \item \([T]^*_{\beta} \cdot [T] = I_n\) \item \(T\) unitário \(\Longleftrightarrow \) \(T^*\) unitário \end{itemize} \section*{OPERADORES NORMAIS} \begin{itemize}[label=-, leftmargin=*] \item \(T \circ T^* = T^* \circ T\) \item todo operador autoadjunto é normal \item se \(T\) é linear, \(\nm{Tv} = \nm{T^*v}\) \item \(Tv = \lambda v \implies T^* \bar{\lambda}v\) \item \([T]^*_{\beta} [T]_{\beta} = [T]_{\beta} [T]^*_{\beta}\) \end{itemize} \section*{FORMAS SESQUILINEARES} \( \begin{array}{rrcl} f: & V \times V & \to & \mathbb{K}\\ & (u,v) & \mapsto & f(u,v) \end{array} \) \begin{enumerate} \item \(f(\lambda u_1 + u_2, v) = \lambda f(u_1, v) + f(u_2, v)\) \item \(f (u,\lambda v_1 + v_2) = \lambda f(u, v_1) + f(u, v_2)\) \end{enumerate} se \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) podemos dizer que \(f\) é uma forma bilinear. \section*{FORMAS HERMETIANAS} \( \begin{array}{rrcl} f: & V \times V & \to & \mathbb{K}\\ & (u,v) & \mapsto & f(u,v) \end{array} \) \vspace{10pt} \(f(u, v) = \overline{f(v, u)} \) \vspace{10pt} se \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) podemos dizer que \(f\) é uma forma simétrica, nesse caso, \(f(u,v) = f(v,u)\) \vspace{10pt} \(\exists ! \; T : V \to V\) linear, tal que \(f(u,v) = \inner{Tu}{v}\) \vspace{10pt} \(f\) hermetiana \(\Longleftrightarrow\) \(T \equiv T^*\) \section*{MATRIZ DE FORMAS} \( [f]_B = \begin{bmatrix} f(v_1, v_1) & f(v_2, v_1) & \cdots & f(v_n, v_1)\\ f(v_1, v_2) & f(v_2, v_2) & \cdots & f(v_n, v_2)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ f(v_1, v_n) & f(v_2, v_n) & \cdots & f(v_n, v_n) \end{bmatrix} \) \section*{TEOREMA DO EIXO PRINCIPAL} \(f\) simétrica \(\implies\) \(\exists \, \beta\) base de \(V\) tal que \([f]_{\beta}\) é diagonal \(\beta\) ortonormal \(\implies\) \([f]_{\beta} = [T]_{\beta}\) \section*{FORMAS QUADRATICAS} \(q(u) = f(u, u)\) \vspace{5pt} \(f(u,v) + f(v,u) = \dfrac{1}{2}\left( q(u+v) - q(u-v) \right)\) \vspace{5pt} \(f(u,v) = \dfrac{1}{4} \left( q(u+v) - q(u-v) \right)\) se \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) \vspace{5pt} podemos expressar uma forma \(q\) como soma de quadrados: \vspace{5pt} \(q(y_1, y_2, \dots , y_n) = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2\) \vspace{5pt} a \textbf{assinatura} de é dada por \(\underline{n_+ - n_-}\), onde \(n_+\) é a quantidade de \(d_i\) positivos, e \(n_-\) é a quantidade de \(d_i\) negativos \section*{POLINÔMIO MÍNIMO} seja \(T: V \to V\) um operador linear, o polinômio, \(m_T (x)\) é mínimo se, \(m_T (T) = 0\) \vspace{5pt} \( \begin{array}{rcl} m_T (x) &=& x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_1 x + a_0\\ m_T (T) &=& T^m + a_{m-1} T^{m-1} + \cdots + a_1 T + a_0 I \end{array} \) \vspace{10pt} seja \(p_T (x)\) \textbf{polinômio caracteristico} de \(T\) \(p_T (T) = 0\) (teorema de Cayley-Hamilton) \begin{enumerate} \itemsep0pt \item \(m_T \vert p_T\) \item \(p_T\) e \(m_T\) tem as mesmas raizes \item \(\partial m_T \leqslant \partial p_T\) \item \(m_T(T) = p_T(T) = 0\) \end{enumerate} \section*{FORMA CANÔNICA DE JORDAN} seja \(A\) uma matriz de ordem \(n\), e seja \(\lambda\) um autovalor de \(A\), a matriz \vspace{5pt} \(J_A(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{bmatrix}_{r \times r} \) \vspace{5pt} é um \textbf{bloco de Jordan} associado ao autovalor \(\lambda\) \vspace{5pt} sejam \(p_A (x)\) e \(m_A (x)\) os polinômios caracteristico e minimo de \(A\) e \(m_i \leqslant p_i\) \vspace{5pt} \(p_A (x) = (x- \lambda_1)^{p_1} (x- \lambda_2)^{p_2} \cdots (x- \lambda_r)^{p_r}\) \(m_A (x) = (x- \lambda_1)^{m_1} (x- \lambda_2)^{m_2} \cdots (x- \lambda_r)^{m_r}\) \begin{enumerate}[leftmargin=*] \itemsep0pt \item o primeiro bloco \(J(\lambda_i)\) é de tamanho \(m_i\) \item os blocos \(J(\lambda_i)\) devem ser de tamanho \textbf{igual ou menor} ao anterior \item a quantidade de blocos para um \(\lambda_i\) é determinado pela dimensão do auto-espaço de \(\lambda_i\) \item o tamanho da matriz diagonalizada é o mesmo da matriz original \item é preciso achar o polinômio caracteristico e mínimo para diagonalizar \end{enumerate} \end{multicols*} \end{document}
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