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Considere a $X:$ Tamaño del reclamo para determinado riesgo. Asuma además que $X \sim LogNormal(\mu, \sigma)$.

Se sabe que para $X$, los parámetros se encuentran dados por las siguientes expresiones:

\begin{equation}
\sigma = \sqrt{ln\left(\frac{Var[X]}{E[X]^2}+1\right)}
       = \sqrt{ln\left(\frac{1560^2}{980^2}+1\right)}
       \approx 1.1236
\end{equation}

\begin{equation}
\mu = ln(E[X])-\frac{\sigma^2}{2} = ln(980)-\frac{1.1236^2}{2} \approx 6.2563
\end{equation}

Por otro lado, se considera $C:$ Número de reclamos. Así pues $E[C]= \lambda \cdot 1500 = 0.05 \cdot 1500 = 75$, es decir, de las 1500 pólizas vigentes, el valor esperado del número de reclamos es 75.

Adicionalmente, de dichos 75 reclamos esperados, no todos van a ser superiores o iguales a \$2000, por lo ue es necesario hacer uso de la distribución especificada para el tamaño de los reclamos y así determinar cuál será la proporción $p$ de reclamos que incurrirán en el reaseguro.

\begin{equation}
p = P(X \geq 2000) \approx 0.1157
\end{equation}

Por lo tanto, se puede afirmar que se espera que el número de reclamos superiores o iguales a 2000 será $N_{2000} = 75 \cdot p = 75 \cdot 0.1157 \approx 8.68$

Por otro lado, es necesario además calcular el valor esperado del tamaño de los reclamos, cuando estos son superiores o iguales a \$2000:

\begin{equation}
\begin{split}
E[X|X \geq 2000] &= \frac{1}{P(X \geq 2000)} \cdot \int_{2000}^\infty x \cdot f_x(x) \cdot dx\\
&= \frac{461.44}{0.1157} \approx \$3988.3
\end{split}
\end{equation}

Donde $f_x(x)$ es la densidad de $X$.

Se espera que el costo total de todos los reclamos que tenga que asumir la reaseguradora sea de:

\begin{equation}
\begin{split}
T &= (E[X|X \geq 2000]-2000) \cdot N_{2000}\\
  &= 1988.3 \cdot 8.68 \approx \$17258.5
\end{split}
\end{equation}

En la expresión anterior, se restan \$2000 puesto que la reaseguradura cubrirá solamente el exceso. Los 2000 iniciales serán cubiertos por la aseguradora inicial.

Así pues, finalmente la prima de reaseguro sin contar los cargos de otro tipo es:

\begin{equation}
P = \frac{T}{\text{Número total de pólizas}} = \frac{17258.5}{1500} = \$11.6
\end{equation}

Es decir, la aseguradora inicial tendrá que pagar \$11.6 por cada una de las 1500 pólizas para reasegurarlas. De este modo, la aseguradora recaudará el valor esperado del costo total de todos los reclamos.