Untitled

1. Понятие счётности множества. Основные теоремы о счётных множествах. Мощности множеств континуума и гиперконтинуума. Примеры. Теорема Кантора-Бернштейна.

2. Аксиомы метрического пространства, неравенство четырёхугольника, сходящиеся последовательности. Открытые и замкнутые множества, замыкание, всюду плотное множество, сепарабельные пространства.  Доказательство сепарабельности LaTeX: \ell 2
ℓ
2
.Полные метрические пространства, теорема о пополнении метрического пространства.

3. Неравенства Юнга, Гёльдера и Минковского (с доказательствами). 

4. Линейные нормированные пространства, основные примеры ( с классификацией на полные и сепарабельные пространства).

5. Теорема о сжимающих отображениях (с доказательством).

6. Компактные множества в метрических пространствах. Критерий компактности. Свойства функций непрерывных на компакте( с доказательством)

8. Теорема об эквивалентности норм в конечномерном ЛНП ( с доказательством). Сфера, как пример ограниченного, замкнутого, но не компактного множества в бесконечномерном ЛНП. Теорема Арцела-Асколи (с доказательством).

9. Пространства со скалярным произведением. Неравенство Коши-Буняковского, норма. Теорема Пифагора. Тождество параллелограмма. Гильбертово пространство.

12. Признак элемента наилучшего приближения ( теорема Б. Леви) .

13. Проекция на подпространство, ортогональное дополнение .

14. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве, неравенство Бесселя ( с доказательством), равенство Парсеваля. Случай обращения неравенства в равенство.

16. Изоморфизм сепарабельных  гильбертовых пространств ( с доказательством).

17.Ограниченность и непрерывность линейных операторов, норма линейного оператора. Вычисление нормы оператора ( с доказательством).Теорема о продолжении линейного оператора.

18. Пространство линейных непрерывных операторов. Сходимость последовательностей линейных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза ( с доказательством). Поточечная и равномерная сходимость линейных операторов.

19. Непрерывно обратимые операторы. Две теоремы об операторах, непрерывно обратимым операторам (Одно из них с доказательством).

20. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала .

21. Теорема Ф.Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве ( с доказательством).

22.Сопряжённое пространство и его полнота. 

23. Сопряжённый оператор, свойства самосопряжённого оператора в гильбертовых пространствах.

24. Вполне непрерывные линейные операторы, примеры. 

25. Существование ненулевого собственного значения у вполне непрерывного самосопряжённого оператора .