Untitled
unknown
plain_text
a month ago
102 kB
3
Indexable
[
{
"id": "vao10_math_003",
"title": "Bất đẳng thức - Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab + 4bc + 4ca = 28$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \\frac{11a + 11b + 24c}{\\sqrt{8a^2 + 224} + \\sqrt{8b^2 + 224} + \\sqrt{16c^2 + 28}}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T04:08:17.353415+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_001",
"title": "Hình học - Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho nửa đường tròn đường kính $AB$, có tâm là điểm $O$. Đường thẳng đi qua tâm $O$ và vuông góc với đường kính $AB$ cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm $C$. Trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $D$ ($D$ không trùng với $C$), kẻ $CH$ vuông góc với đường thẳng $BD$ tại điểm $H$.\na) Chứng minh tứ giác $OBHC$ nội tiếp.\nb) Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $HO$ và $BC$. Chứng minh $HO$ là tia phân giác của $\\widehat{CHB}$ và $CE \\cdot CH = BE \\cdot HD$.\nc) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDH$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại điểm $K$ ($K$ không trùng với $C$). Chứng minh $DE > 2 \\cdot CK$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T04:06:32.752025+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_007",
"title": "Tổ hợp - Đề thi HSG Toán 9 Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Xét bảng ô vuông cỡ $20 \\times 20$ gồm $400$ hình vuông có cạnh $1$ đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kì đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá $1$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất $11$ lần.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:22:18.936539+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_013",
"title": "Hình học - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho hình chữ nhật $ABCD$. Lấy các điểm $E, F$ thuộc cạnh $AB$ ($E$ nằm giữa $A, F$); $G, H$ thuộc cạnh $BC$ ($G$ nằm giữa $B, H$); $I, J$ thuộc cạnh $CD$ ($I$ nằm giữa $C, J$); $K, M$ thuộc cạnh $DA$ ($K$ nằm giữa $D, M$) sao cho $E, F, G, H, I, J, K, M$ đôi một phân biệt và khác các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$, đồng thời hình đa giác $EFGHIJKM$ có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình đa giác $EFGHIJKM$ là các số hữu tỉ (theo đơn vị cm) thì $EF = IJ$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_014",
"title": "Hình học - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho hình vuông $ABCD$ có diện tích $S$. Tứ giác $MNPQ$ có bốn đỉnh $M, N, P, Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AB, BC, CD, DA$ của hình vuông đã cho và không trùng với đỉnh của hình vuông. Chứng minh rằng $S \\le AC \\cdot \\frac{MN + NP + PQ + QM}{4}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_015",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $x, y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^3 + y^3 + z^3 = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\n$$P = \\frac{x^3}{3y + 1} + \\frac{y^3}{3z + 1} + \\frac{z^3}{3x + 1}$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_017",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn. Hai bạn bất kì đều phải đấu với nhau một trận, bạn nào cũng phải gặp đủ 9 đấu thủ của mình và không có trận đấu hòa. Chứng minh rằng có thể sắp xếp 10 bạn này thành một hàng dọc sao cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_016",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Tìm các số thực $x$ sao cho $x + \\sqrt{2022}$ và $\\frac{3}{x} - \\sqrt{2022}$ đều là số nguyên.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_030",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $xy + yz + zx = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức\n$$P = \\frac{2x}{\\sqrt{1+x^2}} + \\frac{y}{\\sqrt{1+y^2}} + \\frac{z}{\\sqrt{1+z^2}} - x^2 - 28y^2 - 28z^2.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:46:26.828329+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_031",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $(7-p)(7+p)$ chia hết cho $24$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:46:26.828329+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_032",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho hai số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $5^n - 1$ chia hết cho $(5^m - 1)^2$. Chứng minh rằng: $n$ chia hết cho $m(5^m - 1)$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:48:03.544198+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_033",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Chứng minh rằng: $6\\sqrt{x-1} + x\\sqrt{5-x^2} \\le 8$ với $1 \\le x \\le \\sqrt{5}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:48:03.544198+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_034",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\n$$T = \\frac{4}{a+b} + \\frac{4}{b+c} + \\frac{4}{c+a} - \\frac{1}{a} - \\frac{1}{b} - \\frac{1}{c}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:48:03.544198+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_004",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Hà Nội 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hà Nội 2025 ",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn ($O$). Đường cao $AD$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ($O$) tại điểm $E$ ($E$ khác $A$). Gọi $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $E$ đến đường thẳng $AB$.\na) Chứng minh bốn điểm $E, D, B, K$ cùng thuộc một đường tròn.\nb) Đường thẳng $AO$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $S$. Chứng minh $EA$ là tia phân giác của góc $\\widehat{CEK}$ và $AB \\cdot AC = AE \\cdot AS$.\nc) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh đường thẳng $SI$ vuông góc với đường thẳng $HK$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T04:21:13.794442+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_005",
"title": "Other - Đề vào 10 Hà Nội 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hà Nội 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Một công ty kinh doanh trong lĩnh vực vận tải đang vận hành một đội gồm 35 xe chở hàng cùng loại, với lợi nhuận trung bình của mỗi xe là 1 triệu đồng một ngày. Để mở rộng mô hình kinh doanh, công ty dự định bổ sung một số xe chở hàng cùng loại với xe đang vận hành. Công ty đã tiến hành khảo sát và phân tích thị trường, kết quả cho thấy: cứ bổ sung một xe chở hàng cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi 20 nghìn đồng một ngày. Hỏi công ty nên bổ sung bao nhiêu xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất?",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T04:25:01.162348+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_006",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Hà Nam 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hà Nam 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ nằm ngoài $(O)$. Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với $(O)$ ($A, B$ là hai tiếp điểm). Xét điểm $D$ thuộc cung lớn $AB$ ($D$ không nằm chính giữa cung $AB$), đường thẳng $MD$ cắt $(O)$ tại điểm $C$. Gọi $E$ là trung điểm của dây $CD$, tia $BE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F$.\n1) Chứng minh bốn điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn.\n2) Chứng minh hai tam giác $\\triangle EBC$ và $\\triangle EDF$ đồng dạng.\n3) Chứng minh $EM$ là tia phân giác của $\\widehat{AEB}$.\n4) Khi $D$ thay đổi trên cung lớn $AB$, tìm vị trí của $D$ để diện tích tam giác $\\triangle MDF$ lớn nhất.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:09:27.938166+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_007",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O)$, bán kính $R$ ($R > 0$) và dây cung $BC = R\\sqrt{3}$. Lấy một điểm $A$ bất kì trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $\\triangle ABC$ có ba góc nhọn. Các đường cao $AD, BE$ của tam giác $\\triangle ABC$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh rằng tứ giác $DHEC$ nội tiếp.\nb) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $(O)$ và $OI$ vuông góc với $BC$ tại $I$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $HM$.\nc) Khi $DH \\cdot DA$ lớn nhất, hãy tính diện tích tam giác $\\triangle ABC$ theo $R$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:11:41.493244+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_008",
"title": "Bất đẳng thức - Đề vào 10 Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho các số thực $x, y, z$ thay đổi và thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 - xyz = 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3x^2 + y^2 + z^2$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:17:44.052865+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_009",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Lạng Sơn 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Lạng Sơn 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ 2 tiếp tuyến $PB$ và $PC$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm).\n1. Chứng minh bốn điểm $O, B, P, C$ cùng thuộc một đường tròn.\n2. Biết $OP$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh rằng: $OH \\perp BC$ và $OB^2 = OP \\cdot OH$.\n3. Kẻ đường kính $BA$, đường thẳng qua $O$ vuông góc với $PA$ tại $I$ và cắt $BC$ tại $T$. Tia $PA$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$ (khác $A$), tia $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ (khác $M$).\nChứng minh rằng: $K, I, C$ thẳng hàng.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:19:05.598722+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_010",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Hà Giang 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hà Giang 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Trên nửa đường tròn $(O)$ lấy điểm $C$ sao cho $CA < CB$, kẻ $CD$ vuông góc với $AB$, $D \\in AB$. Gọi $F$ là một điểm trên đoạn $CD$ ($F$ khác $C$ và $D$), tia $AF$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $E$.\na) Chứng minh tứ giác $DFEB$ là tứ giác nội tiếp.\nb) Gọi $M, N$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ xuống $AE$ và $BF$; $H$ là giao điểm của $BE$ và $DF$; $I$ là trung điểm của $HF$. Chứng minh $OI$ đi qua trung điểm của $MN$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:20:16.558199+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_011",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Bình Định 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Bình Định 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ ($D \\in AC; E \\in AB$) của tam giác $\\triangle ABC$ cắt nhau tại $H$.\n1. Chứng minh bốn điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc một đường tròn.\n2. Tia $BD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$ ($M$ khác $B$). Gọi $K$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh tam giác $\\triangle MHC$ cân và $AH = 2OK$.\n3. Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$, đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Chứng minh $BN \\cdot CF = CN \\cdot BF$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:20:52.213368+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_012",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Khánh Hòa 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Khánh Hòa 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, với $AB \\neq AC$. Các đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ của tam giác $\\triangle ABC$.\na) Chứng minh bốn điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.\nb) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Đường kính $AM$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $CF$ tại điểm $P$. Chứng minh $\\widehat{BAD} = \\widehat{CAM}$ và $AP \\cdot BH = AH \\cdot CP$.\nc) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, đường thẳng $AI$ cắt $EF$ tại $K$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $BC$. Chứng minh $AN$ đi qua trung điểm của $EF$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:21:45.567318+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_008",
"title": "Hình học - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đoạn thẳng $BC$ cố định và một điểm $A$ thay đổi sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hai đường phân giác trong của tam giác $ABC$ là $BD$ và $CE$ cắt nhau tại điểm $O$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\\frac{BD^2}{BO^2} + \\frac{CE^2}{CO^2}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:23:32.549784+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_013",
"title": "Other - Đề vào 10 Hải Phòng 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hải Phòng 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Trung bình",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Trong một cuộc thi tuyển dụng việc làm, ban tổ chức quy định mỗi người ứng tuyển phải trả lời 12 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn bốn phương án, trong đó chỉ có một phương án đúng. Người ứng tuyển chọn phương án đúng sẽ được cộng thêm 5 điểm, chọn phương án sai bị trừ đi 2 điểm. Ở vòng sơ tuyển, ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi 20 điểm và theo quy định người ứng tuyển phải trả lời hết 12 câu hỏi; người nào có số điểm từ 50 trở lên mới được dự thi vòng tiếp theo. Hỏi người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được vào vòng tiếp theo?",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:22:43.68594+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_014",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Thái Nguyên 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Thái Nguyên 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($\\widehat{BAC} < 90^\\circ$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại điểm $A$, điểm $B$ cắt nhau tại điểm $M$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Hai đường thẳng $MO$ và $AB$ cắt nhau tại điểm $P$.\na. Chứng minh rằng bốn điểm $A, P, O, N$ cùng thuộc một đường tròn.\nb. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$. Chứng minh rằng $BM \\cdot BN = CA \\cdot BK$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:23:31.357222+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_015",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Lào Cai 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Lào Cai 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $\\triangle ABC$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh bốn điểm $C, E, H, D$ cùng thuộc một đường tròn.\nb) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $AD \\cdot MC = AC \\cdot BD$.\nc) Gọi $P$ là giao điểm của $AH$ và $EF$; $I$ là giao điểm của $AM$ và $BC$; $K$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh: $K$ là trung điểm của $HM$ và $PI$ song song với $HK$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:29:21.664914+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_016",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Hải Dương 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hải Dương 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, $AB < AC$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ và đường kính $AD$ của đường tròn $(O)$. Kẻ $CE$ vuông góc với $AD$ tại $E$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.\na) Chứng minh tứ giác $AHEC$ nội tiếp.\nb) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\\widehat{CIE} = \\widehat{COE}$ và tam giác $\\triangle HIE$ cân tại $I$.\nc) Trong trường hợp $BA < BD$, trên đoạn thẳng $HM$ lấy điểm $P$ sao cho $\\widehat{APB} = 90^\\circ$. Chứng minh ba điểm $O, P, B$ thẳng hàng.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:30:13.646928+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_017",
"title": "Other - Đề vào 10 Hải Dương 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hải Dương 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Một trang trại trồng rau sạch, mỗi tháng thu hoạch được 1,5 tấn. Nếu bán 1 kg rau với giá 20 000 đồng thì số rau thu hoạch được bán hết. Khi bán với giá cao hơn 20 000 đồng cho 1 kg thì không bán hết 1,5 tấn rau đã thu hoạch. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá bán thêm 1 000 đồng cho 1 kg, số rau thừa lại tăng thêm 30 kg. Số rau thừa này được một cơ sở chăn nuôi gia súc thu mua với giá 6 000 đồng cho 1 kg. Hỏi mỗi tháng số tiền bán rau lớn nhất mà trang trại thu được là bao nhiêu nghìn đồng?",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:30:58.840483+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_018",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Bắc Giang 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Bắc Giang 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 3R$. Kẻ hai tiếp tuyến $AM, AN$ với $(O; R)$ ($M, N$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OA$.\na) Chứng minh tứ giác $AMON$ là tứ giác nội tiếp.\nb) Tính độ dài đoạn thẳng $AH$ theo $R$.\nc) Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại hai điểm phân biệt $E, F$ ($E$ nằm giữa $A$ và $F$). Khi đường thẳng $d$ thay đổi, tìm diện tích lớn nhất của tứ giác $AMFN$ theo $R$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:31:52.327474+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_019",
"title": "Bất đẳng thức - Đề vào 10 Bắc Giang 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Bắc Giang 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\n$P = \\frac{a^2}{a + bc} + \\frac{b^2}{b + ca} + \\frac{c^2}{c + ab}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:32:53.604062+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_020",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Thanh Hóa 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Thanh Hóa 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. Trên cung $AB$ lấy điểm $C$ ($AC < BC, C \\neq A$), trên cung $BC$ lấy điểm $D$ ($D \\neq B, D \\neq C$). Kẻ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$, kẻ $CK$ vuông góc với $AD$ tại $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $CH$ và $AD$, $E$ là giao điểm của $CK$ và $DH$.\na) Chứng minh rằng tứ giác $ACKH$ nội tiếp đường tròn.\nb) Chứng minh rằng hai góc $\\widehat{HCK}$ và $\\widehat{BCD}$ bằng nhau, $IE$ song song với $CD$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:33:55.862268+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_021",
"title": "Other - Đề vào 10 Thanh Hóa 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Thanh Hóa 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Ông Việt dùng một tấm tôn phẳng có dạng nửa hình tròn đường kính $4\\,\\text{m}$ để tạo thành một hình thang như sau: Hình thang có bốn đỉnh đều thuộc nửa đường tròn, trong đó đáy lớn là đường kính của nửa hình tròn. Tính diện tích lớn nhất của hình thang mà ông Việt có thể tạo được.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T05:34:31.874309+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_022",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Nghệ An 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Nghệ An 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$), đường cao $AH$. Kẻ $HD, HE$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$ ($D \\in AB, E \\in AC$).\na) Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.\nb) Trên tia đối của tia $DH$ lấy điểm $F$ ($F \\neq D$). Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $FB$ cắt đường thẳng $AH$ tại $G$. Kẻ $GI$ vuông góc với $HF$ ($I \\in HF$). Chứng minh tam giác $\\triangle IFG$ đồng dạng với tam giác $\\triangle HBG$ và $IF = DH$.\nc) Tia phân giác của góc $\\widehat{HEC}$ cắt $CH$ tại $K$. Kẻ $KM, KN$ lần lượt vuông góc với $EH, EC$ ($M \\in EH, N \\in EC$). Hai đoạn thẳng $CM$ và $HN$ cắt nhau tại $T$. Gọi $P$ là giao điểm của $HN$ và $KM$, $Q$ là giao điểm của $CM$ và $KN$. Chứng minh $ET$ vuông góc với $PQ$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T06:22:34.438551+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_010",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Cho một mảnh giấy hình vuông. Mảnh giấy này được chia thành hai mảnh giấy bằng một đường cắt thẳng. Lấy một trong hai mảnh có được, ta lại làm như trên nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất phải là bao nhiêu để có thể nhận được 100 đa giác 20 cạnh.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_023",
"title": "Other - Đề vào 10 Nghệ An 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Nghệ An 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "a) Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có bán kính đáy bằng $4\\,\\text{cm}$, mực nước trong bình có chiều cao bằng $10\\,\\text{cm}$. Bác muốn đổ hết nước từ bình sang một cái bát uống nước, phần chứa nước là dạng nửa hình cầu có bán kính bằng $6\\,\\text{cm}$ (hình vẽ bên). Hỏi nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài hay không? Vì sao?\nb) Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng $1\\,\\text{cm}$, một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T06:23:15.557482+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_024",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Nam Định 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Nam Định 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho $\\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $BM, CN$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh tứ giác $BNMC$ nội tiếp và $\\widehat{ACB} = \\widehat{AHM}$.\nb) Tia $AH$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Trên tia $DN$ lấy điểm $E$ sao cho $NE = ND$. Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $NM$, $P$ là giao điểm của $EK$ và $AB$. Chứng minh đường thẳng $NM$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HP$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T06:24:30.503213+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_025",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Hòa Bình 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hòa Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ ($AB < AC$). Vẽ các đường cao $BK$ và $CN$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh tứ giác $BNKC$ nội tiếp.\nb) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $(O)$, kẻ $CE$ vuông góc với $AM$ ($E$ thuộc $AM$). Chứng minh $\\widehat{ABH} = \\widehat{NEA}$.\nc) Cho $B, C$ là hai điểm cố định và điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB < AC$. Chứng minh $NE$ luôn đi qua một điểm cố định.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T06:26:05.370152+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_026",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Phú Thọ 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Phú Thọ 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ khác đường kính. Điểm $C$ nằm trên đường thẳng $AB$ sao cho $A$ nằm giữa $B$ và $C$. Vẽ đường kính $DE$ của $(O)$ vuông góc với dây cung $AB$ tại $K$ ($D$ nằm trên cung lớn $AB$). Tia $CD$ cắt $(O)$ tại $I$ ($I$ khác $D$). Các dây $AB$ và $EI$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh tứ giác $DIHK$ nội tiếp đường tròn.\nb) Chứng minh $CI \\cdot CD = CH \\cdot CK$ và $HA \\cdot IB = HB \\cdot IA$.\nc) Vẽ $DT$ vuông góc với đường thẳng $AI$ tại $T$, đường tròn đường kính $CK$ cắt đoạn thẳng $CD$ tại $G$ ($G$ khác $D$). Chứng minh $K, G, T$ thẳng hàng.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T06:27:52.67556+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_027",
"title": "Other - Đề vào 10 Phú Thọ 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Phú Thọ 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Giải hệ phương trình:\n$\\begin{cases} y(x^2 + x) + 2 = (x^4 - x^2)^2 \\\\ x^2 + x - y = 2\\sqrt{x + y} \\end{cases}$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T06:28:25.532497+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_028",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Đà Nẵng 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Đà Nẵng 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ nhọn, có $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh rằng $BFEC$ là tứ giác nội tiếp và $\\widehat{AFE} = \\widehat{ACB}$.\nb) Trong trường hợp $\\widehat{BAC} = 60^\\circ$ và $R = 3\\,\\text{cm}$, hãy tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O; R)$.\nc) Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $AEF$ và $M$ là giao điểm của $AK$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ song song với đường thẳng $MD$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T06:29:56.09285+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_031",
"title": "Bất đẳng thức - Đề vào 10 Hà Tĩnh 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hà Tĩnh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $4(ab+bc+ca)=5c^2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S = \\sqrt{2(a+b+c)} - a^2 - b^2$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:37:17.128874+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_032",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Hà Tĩnh 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Hà Tĩnh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, hai đường cao $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $BC$.\na) Chứng minh tứ giác $BCMN$ nội tiếp.\nb) Qua điểm $K$ vẽ đường thẳng vuông góc với $KH$ cắt các đường thẳng $AB$, $AC$ và $AH$ lần lượt tại các điểm $E, F$ và $Q$. Chứng minh $AH = 2OK$ và $Q$ là trung điểm của $EF$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:40:25.734887+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_033",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Bình Phước 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Bình Phước 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn.\nb) Chứng minh $AE \\cdot AB = AD \\cdot AC$.\nc) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AH$. Gọi $K, L$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $OM$ và $CE$, $MN$ và $BD$.\nChứng minh $\\widehat{MLB} = \\widehat{MKB}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:41:10.815715+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_034",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Huế 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Huế 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.\na) Chứng minh 4 điểm $A, C, D, F$ cùng thuộc một đường tròn.\nb) Chứng minh tam giác $FHD$ đồng dạng tam giác $FEC$.\nc) Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Đường thẳng $KF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Gọi $N$ là giao điểm của $CP$ và $EF$, $I$ là trung điểm của $AH$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh tam giác $FHK$ đồng dạng tam giác $NEC$ và ba điểm $M, N, I$ thẳng hàng.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:41:52.934319+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_011",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng\n$$\\frac{15}{ab + bc + ca} \\ge 6 - abc.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_012",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Trên mặt phẳng cho 2008 điểm bất kì sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn lớn hơn 1. Chứng minh rằng mỗi hình tròn có bán kính bằng 1 chỉ chứa không quá 5 điểm trong 2008 điểm đã cho.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:33:42.525706+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_035",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Quảng Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Quảng Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$, điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O)$ sao cho $AB < AC$ ($A$ khác $B$). Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ ($H \\in BC$). Qua điểm $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại điểm $D$.\na) Chứng minh bốn điểm $A, D, H, O$ cùng nằm trên một đường tròn;\nb) Điểm $I$ là giao điểm của các đường thẳng $AH$ và $OD$. Đường thẳng $BI$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $F$. Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $M$. Chứng minh $AB^2 = AH \\cdot BM$ và $AM = AF$;\nc) Qua điểm $I$ kẻ đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $AO$, qua điểm $B$ kẻ đường thẳng $(d')$ song song với đường thẳng $AC$, hai đường thẳng $(d)$ và $(d')$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh tam giác $KFC$ cân.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:42:29.667811+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_036",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Thái Bình 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Thái Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O; R)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ ($M$ khác $B$ và $M$ khác $C$). Đoạn thẳng $MD$ cắt đoạn thẳng $OB$ tại $I$, đoạn thẳng $OC$ cắt đoạn thẳng $AM$ tại $K$.\na) Chứng minh tứ giác $OBMK$ nội tiếp.\nb) Chứng minh rằng $DI \\cdot DM = 2R^2$.\nc) Tia phân giác của góc $\\widehat{IOM}$ cắt $MI$ tại điểm $E$. Chứng minh rằng $\\tan \\widehat{ODI} = \\frac{EI}{EM}$.\nd) Cho $IB = 2 \\cdot IO$. Tính tỉ số $\\frac{MB}{MC}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:43:15.39339+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_037",
"title": "Bất đẳng thức - Đề vào 10 Thái Bình 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Thái Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là các số không âm thỏa mãn: $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:\n$\\sqrt{6a + \\frac{(b-c)^2}{2}} + \\sqrt{6b + \\frac{(c-a)^2}{2}} + \\sqrt{6c + \\frac{(a-b)^2}{2}} \\le 6\\sqrt{2}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:43:42.32833+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_038",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Sơn La 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Sơn La 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$. Các đường cao $AK, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AH, N$ là trung điểm của đoạn $BC$.\nChứng minh rằng:\na) Bốn điểm $A, E, H, F$ cùng nằm trên một đường tròn.\nb) $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$.\nc) $CI^2 - IE^2 = CK \\cdot CB$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:44:14.004121+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_039",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Quảng Trị 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Quảng Trị 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Trung bình",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB > AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ ($H \\in BC$). Từ $H$ kẻ $HK, HI$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$ ($K \\in AB, I \\in AC$).\na) Chứng minh tứ giác $AKHI$ nội tiếp.\nb) Kẻ đường kính $AD$ của $(O)$, gọi $M$ là giao điểm của $AD$ với $IK$. Chứng minh rằng $\\widehat{AHM} = \\widehat{ADH}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:45:10.583851+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_040",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Đồng Nai 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Đồng Nai 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ (với $AB < AC$) có hai đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại điểm $H$.\n1) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn.\n2) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AH$ và $EF$. Chứng minh rằng $IA \\cdot IH = IE \\cdot IF$.\n3) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Đường thẳng đi qua điểm $H$ vuông góc với $AM$, cắt cung nhỏ $CE$ của đường tròn đường kính $BC$ tại điểm $K$. Chứng minh $AK$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:45:46.970452+00:00"
},
{
"id": "vao10_math_041",
"title": "Hình học - Đề vào 10 Bạc Liêu 2025",
"subcategory": "vao_10",
"source": "Đề thi vào 10 Bạc Liêu 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O; R)$ có đường kính $AB$ vuông góc với dây cung $CD$ tại điểm $I$ ($I$ nằm giữa $A$ và $O$). Lấy điểm $E$ bất kỳ trên cung nhỏ $BC$ ($E$ khác $B$ và $C$). Hai đoạn thẳng $AE$ và $CD$ cắt nhau tại $K$.\na) Chứng minh tứ giác $KEBI$ là tứ giác nội tiếp.\nb) Chứng minh: $AK \\cdot AE = AB \\cdot AI$.\nc) Gọi $P$ là giao điểm của tia $BE$ và tia $DC, Q$ là giao điểm của hai đường thẳng $AP$ và $BK$. Chứng minh $OQ$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\\Delta PQE$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-04-30T23:46:16.065228+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_001",
"title": "Other - Đề vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho $p$ là số nguyên tố khác $2$, hai số tự nhiên lẻ $a, b$ thoả mãn $a + b$ chia hết cho $p$ và $a - b$ chia hết cho $p - 1$. Chứng minh rằng $a^b + b^a$ chia hết cho $2p$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:10:56.70425+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_002",
"title": "Bất đẳng thức - Đề vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho các số thực $a, b > \\frac{1}{3}$ và thoả mãn $\\frac{1}{a^2(3b-1)} + \\frac{1}{b^2(3a-1)} \\ge \\sqrt[3]{ab}$. Chứng minh rằng $1 + a + b \\ge 3ab$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:12:04.422965+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_003",
"title": "Hình học - Đề vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có các đường cao $AD, BE, CF$. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác $ABC$ để biểu thức $\\frac{AB + BC + CA}{AD + BE + CF}$ đạt giá trị nhỏ nhất.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:13:47.664719+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_004",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Cho hình thoi $ABCD$ có $\\widehat{A} = 60^\\circ$ và $AC = 6\\text{ cm}$. Chứng minh rằng, với $25$ điểm bất kì trong hình thoi này thì luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách không vượt quá $1\\text{ cm}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:18:00.91003+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_005",
"title": "Hình học - Đề thi HSG Toán 9 Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $90^\\circ < \\widehat{BAC} < 120^\\circ$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $BC = CD\\sqrt{2}$. Qua $D$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$, cắt $CA$ tại $E$. Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:21:25.198761+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_006",
"title": "Bất đẳng thức - Đề thi HSG Toán 9 Bắc Ninh 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh Bắc Ninh 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x \\ge z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức\n$$P = \\frac{x}{\\sqrt{x^2 + y^2}} + \\frac{y}{\\sqrt{y^2 + z^2}} + \\sqrt{\\frac{z}{z + x}}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:21:54.696542+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_009",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là các số thực không âm và thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 8$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức\n$$P = \\frac{2a + c}{1 + bc} + \\frac{2b + c}{1 + ca}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:24:02.625213+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_019",
"title": "Hình học - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2021",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2021",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Hình học"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ nhọn và cố định, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Điểm $P$ là một điểm thay đổi trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$ ($P$ không trùng với $A$ và $B$). Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $OA$ và cắt các đường thẳng $AB, AC$ theo thứ tự tại các điểm $Q$ và $R$; đường thẳng qua $P$ vuông góc với $OB$ và cắt các đường thẳng $AB, BC$ theo thứ tự tại các điểm $S$ và $T$.\n\na) Chứng minh tam giác $PQS$ là tam giác cân.\nb) Giả sử tam giác $ABC$ cân tại $C$, gọi giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $PC$ là $M$. Chứng minh rằng hai tam giác $CPA$ và $CAM$ đồng dạng và khi $P$ thay đổi trên cung nhỏ $AB$ thì tỉ số $\\frac{PC}{PA + PB}$ có giá trị không đổi.\nc) Tìm vị trí của điểm $P$ trên cung nhỏ $AB$ để tích $QR.ST$ đạt giá trị lớn nhất.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:37:25.566213+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_020",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2021",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2021",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng\n$$\\frac{2ab}{3a + 8b + 6c} + \\frac{3bc}{3b + 6c + a} + \\frac{3ca}{9c + 4a + 4b} \\le \\frac{a + 2b + 3c}{9}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:37:25.566213+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_018",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Bắc Ninh 2021",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Bắc Ninh 2021",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: với mỗi số nguyên dương lẻ $a$ mà $a^2 \\le n$ thì $n$ chia hết cho $a$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:37:25.566213+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_021",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn ($O$). Kẻ các đường cao $AD, BE, CF$ ($D, E, F$ là chân các đường cao) cắt nhau tại điểm $H$. Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn ($O$) tại $P, Q$ ($F$ nằm giữa $P$ và $E$), đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại điểm $M$.\n\na) Chứng minh: $MP.MQ = ME.MF$.\nb) Gọi $N$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $BC$. Chứng minh: $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$.\nc) Đường thẳng đi qua $H$, song song với $AB$ và cắt $AC$ tại điểm $X$. Đường thẳng đi qua $H$, song song với $AC$ và cắt $AB$ tại điểm $Y$. Chứng minh: Đường trung trực của đoạn thẳng $XY$ đi qua điểm $O$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:43:19.204458+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_022",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Một Logo như hình vẽ bên. Phần tô đậm là giao của các cặp hình tròn ngoại tiếp các tam giác: $\\Delta ABG, \\Delta ACG$ và $\\Delta BCG$. Tính diện tích phần tô đậm (theo đơn vị $cm^2$), biết rằng tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $20 cm$, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (lấy $\\pi = 3,14$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:43:19.204458+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_023",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho số nguyên dương $n$ và biểu thức $A = 1^2 + 2^2 + \\dots + n^2$. Chứng minh: $3A$ chia hết cho $2n+1$ và $\\frac{24A + 2n + 1}{2n+1}$ là một số chính phương.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:43:19.204458+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_024",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\n$$P = \\frac{a+b}{a^2 + ab + b^2} + \\frac{b+c}{b^2 + bc + c^2} + \\frac{c+a}{c^2 + ca + a^2}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:43:19.204458+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_025",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Cho đa giác đều $2025$ cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:43:19.204458+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_026",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $EF$ tại $K$. Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $DI$ và đường thẳng $EF$, $N$ là giao điểm của đường thẳng $IA$ và đường thẳng $EF$. Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $BC$ và đường thẳng $IK$ lần lượt tại $M$ và $P$.\n\n1. Chứng minh $ANPK$ là tứ giác nội tiếp.\n2. Chứng minh $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PDK$.\n3. Đường thẳng $BI$ cắt đường thẳng $EF$ tại $R$. Đường thẳng $IM$ cắt đường thẳng $DK$ tại điểm $T$ và đường thẳng $RC$ cắt đường thẳng $DK$ tại điểm $U$. Chứng minh bốn điểm $I, T, U, R$ nằm trên một đường tròn.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:45:13.544293+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_027",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Giả sử $a, b$ là các số nguyên dương sao cho $\\frac{(a+b)^2 + 4a}{ab}$ là số nguyên. Biết $b$ là số lẻ. Chứng minh rằng $a$ là số chính phương.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:45:13.544293+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_028",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c = 3$. Chứng minh rằng:\n$$\\frac{a+2}{(a+1)^2} + \\frac{b+2}{(b+1)^2} + \\frac{c+2}{(c+1)^2} \\ge \\frac{9}{4}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:45:13.544293+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_029",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thái Bình 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thái Bình 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = c, AC = b$. Vẽ đường tròn tâm $O_1$ đường kính $AB$ và đường tròn tâm $O_2$ đường kính $AC$. Gọi $H$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$. Đường thẳng $(d)$ thay đổi luôn đi qua $A$ cắt các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại các điểm $D, E$ (không trùng với $A$) sao cho $A$ nằm giữa $D$ và $E$.\n\na) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng $DE$ luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng $(d)$ thay đổi.\nb) Xác định vị trí của đường thẳng $(d)$ để diện tích tứ giác $BDEC$ đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo $b, c$.\nc) Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn $DE$ và vuông góc với $BC$ tại điểm $K$. Chứng minh rằng $KB^2 = BD^2 + KH^2$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:46:26.828329+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_035",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại các điểm $D, E, F$. Đường thẳng $AI$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $X$.\n\na) Kẻ đường kính $DH$ của đường tròn $(I)$, tiếp tuyến tại $H$ của đường tròn $(I)$ cắt các cạnh $AC, AB$ lần lượt tại các điểm $P, Q$. Gọi $M, N$ tương ứng là các điểm đối xứng với $X$ qua các đường thẳng $IC, IB$. Chứng minh rằng: $MN$ vuông góc với $DH$ và $QH \\cdot BD = PH \\cdot CD$.\nb) Đường thẳng $AI$ cắt các đường thẳng $DE, DF$ lần lượt tại các điểm $G, J$. Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh rằng $QH \\cdot BD = IG \\cdot IJ$ và tam giác $KGJ$ cân.\nc) Biết tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Đường thẳng $BI$ cắt đường thẳng $CA$ tại điểm $Y$, đường thẳng $CI$ cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $Z$. Chứng minh rằng:\n$$\\frac{1}{AX} + \\frac{1}{BY} + \\frac{1}{CZ} < \\frac{2}{R - OI}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:48:03.544198+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_036",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 = 2(a+b+c)$.\n\na) Chứng minh rằng $a+b+c \\le 6$ và $(a+1)(b+1)(c+1) \\le 27$.\nb) Tìm giá trị nhỏ nhất của $F = (a+1)(b+1)(c+1)$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:49:07.35558+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_037",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ và $\\widehat{BAC} = 60^\\circ$. Các đường thẳng qua $C$ và $B$ song song với $AO$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $E$ và $F$ ($E \\ne C, F \\ne B$). Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Đường thẳng $BH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $X$ ($X \\ne B$); đường thẳng $CH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $Y$ ($Y \\ne C$).\n\na) Chứng minh tam giác $AEF$ đồng dạng với tam giác $HBC$.\nb) Gọi $M$ là giao điểm của $XF$ với $AC$ và $N$ là giao điểm của $YE$ với $AB$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $BC$.\nc) Chứng minh ba đường thẳng $MN, XY, FE$ đồng quy.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:49:07.35558+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_038",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Cho tập $A$ gồm $2025$ số tự nhiên liên tiếp. Một tập con $B$ của $A$ được gọi là tập con có tính chất \"nodiv\" nếu hai phần tử $a, b (a > b)$ bất kỳ thuộc tập $B$ đều thỏa mãn điều kiện $a+b$ không chia hết cho $a-b$.\n\na) Chỉ ra một tập con $B$ của $A$ có tính chất \"nodiv\" mà $B$ có đúng $675$ phần tử.\nb) Nếu $B$ là một tập con của $A$ có tính chất \"nodiv\" thì $B$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:49:07.35558+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_039",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "a) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ có dạng $4k^4 + 1$ với $k$ là một số tự nhiên.\nb) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ để $n^2 + 1$ là ước số của $Q = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\dots n$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:49:33.527531+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_040",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\n$$P = \\frac{2a}{\\sqrt{1+a^2}} + \\frac{b}{\\sqrt{1+b^2}} + \\frac{c}{\\sqrt{1+c^2}}.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:53:30.449798+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_041",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho ba số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca + abc \\le 4$. Chứng minh rằng:\n$$a + b + c \\ge ab + bc + ca.$$",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:53:30.449798+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_042",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường thẳng $AO$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $E$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Đường thẳng $AM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $N$ ($N \\ne A$). Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại các điểm $B, C$ cắt nhau tại điểm $D$.\n\na) Chứng minh $AOND$ là tứ giác nội tiếp và tia $DO$ là phân giác của góc $\\widehat{ADN}$.\nb) Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $P$ ($P \\ne A$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F$ ($F \\ne A$). Chứng minh $AB \\cdot PC = AC \\cdot PB$ và ba điểm $E, F, P$ thẳng hàng.\nc) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh ba điểm $D, K, F$ thẳng hàng và đường thẳng $FN$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $DM$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:53:30.449798+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_043",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Sau khi tổ chức một trận đấu giao hữu giữa hai đội bóng lớp 9A và 9B, Ban tổ chức có $11$ gói kẹo muốn chia cho $2$ đội. Mỗi đội được chia $5$ gói làm phần thưởng và $1$ gói Ban tổ chức giữ lại để liên hoan. Biết rằng dù chọn bất kì gói nào để giữ lại, Ban tổ chức luôn có thể chia $10$ gói còn lại cho $2$ đội mà tổng số viên kẹo trong $5$ gói cho mỗi đội là bằng nhau. Chứng minh rằng $11$ gói kẹo đó phải có số viên kẹo bằng nhau.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:53:30.449798+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_044",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca \\le 3$. Chứng minh rằng:\n\na) $a + b + c \\le \\frac{3\\sqrt{2}}{2}$.\nb) $\\frac{2ab+3}{(a+b)^2} + \\frac{2bc+3}{(b+c)^2} + \\frac{2ca+3}{(c+a)^2} \\ge 6$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:55:43.10891+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_057",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $AB < AC$. Ba đường cao của tam giác $ABC$ là $AD, BE, CF$ đồng quy tại điểm $H$. Gọi $AQ$ là đường kính của đường tròn $(O)$, đường thẳng $HQ$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $N$ và cắt đường thẳng $AM$ tại điểm $K$ ($N, K$ khác $A$), đường thẳng $AN$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $P$. Chứng minh rằng:\n$HQ$ vuông góc với $AN$ và $\\widehat{FDH} = \\widehat{HDE}, \\widehat{FDK} = \\widehat{NDE}$.\nBa điểm $P, E, F$ thẳng hàng.\n$PE.PF < PM^2$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_045",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ sao cho hai tia $BA$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $E$, hai tia $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $F$. Gọi $G, H$ lần lượt là trung điểm của $AC, BD$. Đường phân giác của các góc $\\widehat{BEC}$ và $\\widehat{AFB}$ cắt nhau tại điểm $K$. Gọi $L$ là hình chiếu vuông góc của $K$ trên đường thẳng $EF$. Chứng minh rằng:\n\na) $\\widehat{DEF} + \\widehat{DFE} = \\widehat{EBF}$ và $KL = \\sqrt{LE \\cdot LF}$.\nb) $\\widehat{GED} = \\widehat{HEA}$ và $EG \\cdot FH = EH \\cdot FG$.\nc) $\\frac{MB}{MC} + \\frac{NB}{NA} = 2 \\cdot \\frac{KH}{KG}$; trong đó $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $EK$ và $BC$, $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $FK$ và $AB$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:55:43.10891+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_046",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Phúc 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Thầy Hùng viết các số nguyên $1, 2, 3, \\dots, 2021, 2022$ lên bảng. Thầy Hùng xóa đi $1010$ số bất kì trên bảng. Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:\n\na) $3$ số có tổng các bình phương là hợp số.\nb) $504$ số có tổng các bình phương chia hết cho $4$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-04T15:55:43.10891+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_047",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Với các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2b + b^2c + c^2a + 16 = ab^2 + bc^2 + ca^2$.\nChứng minh $(a-b)(b-c)(c-a) = 16$.\nTìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^2 + b^2 + c^2$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:36:15.288276+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_048",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Tìm tất cả cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $2(2x - y)(y - x)^2 = 15x - 7y + 7$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:36:15.288276+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_049",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $AD, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Tia $MH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $T$. Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$.\nChứng minh ba điểm $T, H, K$ thẳng hàng.\nĐường thẳng qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $AM$ tại điểm $E$, cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $G$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDG$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$ tại hai điểm $D$ và $N$. Chứng minh đường thẳng $NE$ song song với đường thẳng $BF$.\nKẻ dây cung $AX$ của đường tròn $(O)$ sao cho đường thẳng $AX$ song song với đường thẳng $BC$. Chứng minh ba đường thẳng $MX, TD$ và $AN$ đồng quy.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:36:15.288276+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_050",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Hai trường trung học cơ sở $A$ và $B$ tổ chức chung một buổi liên hoan cho các học sinh tiêu biểu. Biết rằng trong buổi liên hoan này:\n(i) mỗi học sinh trường $A$ quen với đúng 5 học sinh khác cũng của trường $A$;\n(ii) mỗi học sinh trường $A$ quen với đúng 4 học sinh trường $B$;\n(iii) mỗi học sinh trường $B$ quen với đúng 3 học sinh trường $A$;\n(iv) tổng số học sinh của hai trường tham dự không vượt quá 80.\nSố học sinh trường $A$ tham dự buổi liên hoan có thể là 25 học sinh được không? Vì sao?\nTổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan có thể nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:36:15.288276+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_051",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho $m,n$ là các số nguyên thỏa mãn số $m^2 - mn + 4n^2$ chia hết cho $25$. Chứng minh số $m^2 + mn + 4n^2$ chia hết cho $25$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:39:11.108599+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_052",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a \\le 2, b \\le 2, c \\le 2$ và $a + b + c = 3$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \\sqrt{ab(b+c+1)} + \\sqrt{bc(c+a+1)} + \\sqrt{ca(a+b+1)}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:39:11.108599+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_053",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, điểm $M$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$. Hai đường thẳng $AM$ và $DC$ cắt nhau tại $P$. Hai đường thẳng $DM$ và $AB$ cắt nhau tại $K$.\nChứng minh tam giác $BCK$ đồng dạng với tam giác $CPB$.\nHai đường thẳng $BP$ và $CK$ cắt nhau tại $H$. Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $MH$ tại $R$. Chứng minh tam giác $BRK$ là tam giác vuông cân.\nCác đường thẳng vuông góc với $OH$ kẻ từ $O$ và $H$, cắt đường thẳng $AB$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Lấy điểm $Q$ thuộc tia đối của tia $BC$ sao cho $BQ = CM$. Chứng minh hai đường thẳng $QR, DK$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $MXY$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:39:11.108599+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_054",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Hà Nội 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Cho bảng ô vuông kích thước $6 \\times 6$. Ở bước đầu tiên, bạn Đan tô đỏ $k$ ô vuông bất kỳ của bảng. Sau đó, ở mỗi bước tiếp theo bạn Đan tô đỏ các ô vuông kề với ít nhất hai ô đã được tô đỏ (hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có cạnh chung).\nChỉ ra một cách tô đỏ 23 ô của bảng ở bước đầu tiên sao cho dù sau bao nhiêu bước, bạn Đan cũng không thể tô đỏ được tất cả các ô của bảng.\nTìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại một cách tô đỏ $k$ ô vuông ban đầu sao cho sau một số hữu hạn bước, bạn Đan tô đỏ được tất cả các ô vuông của bảng.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-07T12:39:11.108599+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_055",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho các số nguyên dương $a, b$ thỏa mãn điều kiện $a+b+1$ là ước nguyên tố của $4(a^2 + ab + b^2) - 3$. Chứng minh rằng $a+b-1$ là ước của $4(a^2 + ab + b^2) - 3$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_056",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Xét $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy + yz + zx \\le xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = xy^2 + yz^2 + zx^2 - 18(x + y + z)$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_058",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC, N$ là trung điểm của đoạn $AH$, đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P, Q$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $S$ sao cho $P$ nằm giữa $S$ và $F$. Chứng minh rằng:\nTứ giác $AOMN$ là hình bình hành.\n$AP^2 = AQ^2 = AE.AC$.\nTứ giác $DMEF$ nội tiếp và $\\frac{FP}{PS} = \\frac{QE}{ES}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_059",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $0 \\le x, y, z \\le 4$. Chứng minh rằng: $x^2y + y^2z + z^2x + 16 \\ge xy^2 + yz^2 + zx^2$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_060",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Ban đầu trên bảng viết 2023 số thực. Mỗi lần biến đổi số trên bảng là việc thực hiện như sau: Chọn ra hai số $a$ và $b$ nào đó ở trên bảng, xóa hai số đó đi và viết thêm lên bảng số $\\frac{a+b}{4}$. Giả sử ban đầu trên bảng ghi 2023 số 1 và ta thực hiện liên tiếp các biến đổi cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số, chứng minh rằng số đó lớn hơn $\\frac{1}{2^{11}}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_061",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O, R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn $(O)$ ($A, B$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm trên cung lớn $AB$ của đường tròn $(O, R)$ sao cho $AD \\parallel MB$ và $C$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $MD$ với đường tròn $(O, R)$. Chứng minh rằng:\n$MH.MO = MC.MD$ và tứ giác $OHCD$ nội tiếp (với $H = OM \\cap AB$).\nBa điểm $A, C, G$ thẳng hàng (với $G$ là trọng tâm tam giác $MAB$).\nTính giá trị biểu thức $T = 8\\frac{IM^2 + IA^2}{IK^2 + IH^2} + 5\\frac{IA}{AB}$ khi $OM = 3R, I = MK \\cap AB$ và $BK$ là đường kính.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_062",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3, (k \\in \\mathbb{N})$. Chứng minh rằng nếu $a, b \\in \\mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^2 + b^2 \\vdots p$ thì $a \\vdots p$ và $b \\vdots p$. Từ đó suy ra phương trình $x^2 + 4x + 9y^2 = 58$ không có nghiệm nguyên.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_063",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Xét các số thực không âm $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z \\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \\frac{x^2}{yz + \\sqrt{1 + x^3}} + \\frac{y^2}{zx + \\sqrt{1 + y^3}} + \\frac{z^2}{xy + \\sqrt{1 + z^3}}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_064",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Nam Định 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Từ 2022 số nguyên dương đầu tiên là $1, 2, 3, \\dots, 2022$, người ta chọn ra $n$ số phân biệt sao cho cứ hai số bất kì được chọn ra đều có hiệu không là ước của tổng hai số đó. Chứng minh rằng $n \\le 674$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T14:42:29.979174+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_065",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2025",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2025",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho đường tròn $(O; R)$ và dây cung $BC$ cố định $(BC < 2R)$. Điểm $A$ di động trên đường tròn $(O; R)$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:\n1) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $H$ của tam giác $BHC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại hai điểm $M, N$. Chứng minh tam giác $AMN$ cân.\n2) Kẻ các đường cao $BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$. Gọi $S$ là giao điểm thứ hai khác $A$ của đường thẳng $AH$ và đường tròn $(O)$. Đường thẳng $SE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $X$ (khác $S$). Chứng minh đường thẳng $BX$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $EF$.\n3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ cắt tia phân giác của góc $BAC$ tại $K$. Chứng minh điểm $K$ thuộc một đường tròn cố định.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_066",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC$. Đường thẳng đi qua hai điểm $M, N$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P, Q$ (với $M$ nằm giữa $P$ và $N$). Gọi $D$ là một điểm trên cạnh $AB$ ($D \\neq A, D \\neq B$), đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDP$ cắt $BC$ tại $I$ ($I \\neq B$). Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $K$. Chứng minh rằng:\n1) Các điểm $C, I, P, K$ cùng thuộc một đường tròn.\n2) $\\frac{QB}{QC} = \\frac{PK}{PD}$.\n3) Đường thẳng $AP$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDP$ tại $G$ ($G \\neq P$). Đường thẳng $IG$ cắt $AB$ tại $E$. Chứng minh rằng khi $D$ di chuyển trên cạnh $AB$ thì tỉ số $\\frac{S_{APD}}$ / $S_{AQE}$ không đổi (trong đó $S_{APD}, S_{AQE}$ lần lượt là diện tích của các tam giác $APD$ và $AQE$).",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_067",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Hai bạn $X$ và $Y$ tham gia một trò chơi. Có một tờ giấy đã viết 47 số nguyên từ 1 đến 47 và một hộp đựng $n$ viên bi. $X$ là người chơi trước, $Y$ là người chơi sau và sở hữu hộp bi. Hai người luân phiên thực hiện gạch số, mỗi lượt chơi thì người chơi gạch đi 5 số. Sau khi $X$ chơi xong lượt cuối cùng thì còn lại 2 số, hai số đó chênh lệch bao nhiêu thì $Y$ phải đưa cho $X$ bấy nhiêu viên bi. Nếu $Y$ hết bi hoặc không đủ số bi để đưa cho $X$ thì $X$ thắng cuộc, ngược lại nếu $Y$ còn ít nhất một viên bi thì $Y$ thắng cuộc. Chứng minh rằng:\n1) Với $n = 27$, $Y$ luôn có cách chơi để thắng cuộc.\n2) Với $n = 26$, $X$ luôn có cách chơi để thắng cuộc.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_068",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2024",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2024",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn phương trình: $x^2(x^2 + 7) = (2x + y + 2)(y + 2)$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_069",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) có các đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại điểm $H$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$. Chứng minh rằng:\n1) Tứ giác $DEKF$ nội tiếp đường tròn, gọi đường tròn đó là $(S)$.\n2) Gọi $P, Q$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $EF, BC$. Chứng minh $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $HPQ$.\n3) Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $(S)$ với các đoạn thẳng $BH, CH$. Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(S)$ cắt $MN$ tại $T$. Gọi $X, Y$ là các giao điểm của đường tròn $(S)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Chứng minh các điểm $T, X, Y$ thẳng hàng.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_070",
"title": "Tổ hợp - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2023",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2023",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Tổ hợp"
],
"summary": "Cho tập hợp $X = \\{1; 2; \\dots; 120\\}$ gồm 120 số nguyên dương đầu tiên, trong đó có 60 số được viết bằng màu đỏ và 60 số còn lại được viết bằng màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại 40 số nguyên dương liên tiếp của tập $X$, trong đó có 20 số được viết bằng màu đỏ và 20 số được viết bằng màu xanh.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_071",
"title": "Other - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Other"
],
"summary": "Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $AC$. Đường thẳng $MN$ cắt cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ tại $P$. Chứng minh rằng:\n1) Tứ giác $OMCN$ nội tiếp.\n2) Gọi $D$ là điểm bất kỳ trên cạnh $AB$ ($D \\neq A, B$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $I$ khác $B$; $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $DI$ và $AC$. Chứng minh $PK.PB = PC.PD$.\n3) Gọi $G$ là giao điểm khác $P$ của $AP$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPD$, đường thẳng $IG$ cắt $AB$ tại $E$. Chứng minh rằng khi $D$ di chuyển trên cạnh $AB$ thì tỉ số $\\frac{AD}{AE}$ không đổi.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
},
{
"id": "vao10chuyen_math_072",
"title": "Bất đẳng thức - Bài tập vào 10 chuyên Thanh Hóa 2022",
"subcategory": "vao_10_chuyen",
"source": "Đề thi vào 10 chuyên Thanh Hóa 2022",
"source_url": "",
"difficulty": "Khó",
"tags": [
"Bất đẳng thức"
],
"summary": "Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c = abc$. Chứng minh rằng: $\\frac{b}{a\\sqrt{b^2 + 1}} + \\frac{c}{b\\sqrt{c^2 + 1}} + \\frac{a}{c\\sqrt{a^2 + 1}} \\ge \\frac{3}{2}$.",
"analysis_and_solution": "Đang cập nhật",
"created_at": "2026-05-08T15:05:52.765514+00:00"
}
]Editor is loading...
Leave a Comment